如图1，在△ABC中，AC=2,角ACB=90°，角ABC=30°,P是AB边的中点。现把三角形A

Question

如图1，在△ABC中，AC=2,角ACB=90°，角ABC=30°,P是AB边的中点。现把三角形ACP沿CP

Answer 1

郭敦顒回答：

∵在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴AB=4，BC=2√3，

P是AB的中点，沿CP折成三棱锥A—BCP，使得AB=√10

（1）求证：平面ACP平面⊥平面BCP

∵在三棱锥A—BCP中的△ABC中，AC=2，BC=2√3，AB=√10，

按余弦定理：cos∠ACB =（a²+b²ï¼c²ï¼‰/2ab=（12+4－10）/8√3=3/4√3，

∴cos∠ACB =（1/4）√3，∴∠ACB=64.3411°，

∵∠ACB=90°，P是AB的中点，∴OA=PB=PC，△ACP是等边△，

作AG⊥PC于G，并延长交BC于D，则CG=AC/2=1，

CD=AC²/BC=4/2√3=（2/3）√3，CD= （2/3）√3，

DG=CD/2=（1/3）√3，AG=√3，

∴在三棱锥A—BCP图中cos∠ACD =（CD²+AC²ï¼c²ï¼‰/2ab

=（4/3+4－AD²ï¼‰/[（8/3）√3]= （1/4）√3，

∴（4/3+4－AD²ï¼‰= [（8/3）√3] （1/4）√3=2，

∴AD²=10/3，AD=（1/3）√30，

AG²=3，DG ²=1/3，AG²+ DG ²=3+1/3=10/3，

∴AG²+ DG ²= AD²ï¼Œ

AG⊥DG，又∵AG⊥CP，

∴平面ACP平面⊥平面BCP。

（2）求二面角B—AC—P的余弦值，

作PN⊥AC于M，则PM=AG=√3，

在三棱锥A—BCP的平面ACB上作MN⊥AC于M，交BC于N，则∠PMN是二面角B—AC—P的平面角，连PN。

∵∠ACB=64.3411°，∴∠MCN=∠ACB（同角），∠MCN=64.3411°，

又∵CM=AC/2=1，∴MN=CM tan64.3411°=2.08167，

CN=CM/ cos64.3411°=1/[（1/4）√3]=（4/3）√3，CN=（4/3）√3，

在△PCN中，∠PCN=30°，PC=2，CN=（4/3）√3，

cos∠PCN=（1/2）√3=（PC²+CN²ï¼PN²ï¼‰/（2PC•PN）

=（4+16/3－PN²ï¼‰/8√3=（1/2）√3，

∴（4+16/3－PN²ï¼‰=12， PN²=8－16/3=8/3，∴PN=（2/3）√6，

∴cos∠PMN=（PM²+MN²ï¼PN²ï¼‰/（2PM•PN）=（3+2.08167²ï¼8/3）=0.64715，

∴cos∠PMN=0.64715，

∴二面角B—AC—P的余弦值为0.64715。

                   A

                                       A

 

 

           M

                      P                              P

                 G                           G

                                           

 

          C         D     N      B    C      D                B   

 

Answer 2

(1)在△ABC中，AC=2,角ACB=90°，角ABC=30°,P是AB边的中点，
∴AB=4，BC=2√3，AP=PB=CP=2，
在图2中，AB=√10，作BD⊥CP于D,连AD,
∠BCD=∠CBP=30°，
∴BD=BC/2=√3，CD=3，
∠ACD=60°，
由余弦定理，AD^2=4+9-6=7，
∴AD^2+BD^2=AB^2，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥平面ACP,
∴平面ACP⊥平面BCP.
(2)作DE⊥AC于E,连BE,则BE⊥AC,
∴∠BED是二面角B-AC-P的平面角，
DE=CDsin60°=3√3/2，
BE^2=BD^2+DE^2=3+27/4=39/4，
∴BE=√39/2，
∴cos∠BED=DE/BE=3√13/13，为所求.