大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n

Question

大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n＝12n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：1×2＝13(1×2×3?0×1×2)，2×3＝13(2×3×4?1×2×3)，3×4＝13(3×4×5?2×3×4)，将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝13×3×4×5＝20．根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=______；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

Answer 1

根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+…+

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=

1

3

n（n+1）（n+2）；
依此类推：1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

1

4

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）