初三难数学题（关于几何和三角函数）

Question

如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA；
①判断三角形APB是什么三角形，证明结论；
②比较DP与PC的大小；
③画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F。若AD=5cm，AP=8cm，求证三角形AEF∽三角形APB，并求出tanAFE的值。

Answer 1

1、因为是平行四边形，所以∠QAB+∠ABC=180°
又因为AP,BP是角平分线，所以∠PAB+∠PBA=1/2(∠QAB+∠ABC)=1/2*180°=90°=》∠APB=90°
即△APB是直角三角形
2、因为AP,BP是角平分线，所以∠DAP=∠PAB,∠ABP=∠CBP
又因为DC//AB，所以∠DPA=∠PAB=∠DAP=》AD=DP
同理：BC=PC因为BC=AD,所以DP=PC
3、因为AB是直径，所以∠AEB=90°即∠AEF=90°，∠DPA=∠PAB
所以△AEF相似△APB
因为∠APB=90°，所以P在圆O上，连PO
OP=AD=5=>AB=10由勾股定理得：PB=√（10^2-8^2)=6
tanAFE=tanABP=AP/BP=8/6=4/3

Answer 2

1、直角三角形，因为∠DAB和∠CBA是同旁内角，相加为180度，又因为AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，所以∠PAB+∠PBA=90度，所以三角形APB为直角三角形。
2、因为AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，又因为DC平衡AB，所以∠PAB=∠DAP=∠DAP，所以三角形ADP为等腰三角形，所以DP=AD；同理可得CP=CB，因为AD=CB，所以DP=PC。
3、因为AB是直径，所以∠AEB=90°即∠AEF=90°，∠DPA=∠PAB
所以△AEF相似△APB
因为∠APB=90°，所以P在圆O上，连PO
OP=AD=5=>AB=10由勾股定理得：PB=√（10^2-8^2)=6
tanAFE=tanABP=AP/BP=8/6=4/3