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Question

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Answer 1

大学文科数学试卷

一、填空题（12分）

1.我国数学家祖冲之是 南北朝 时期人，他在圆周率上的两个结果是 ①圆周率在3.1415926与3.1415927之间；②约率为 ，密率为 。

2.函数在一点有极限的充要条件是 函数在此点处的左权限，右极限存在且相等。

3.简言之，导数是 平均变化率 的极限，定积分是 积分和式 的极限。

4.使导数为零的点称为 驻点 。

5.函数y=f(x)在 上的拉格朗日中值公式为 ＝ ( )
6.变上限定积分是 被积函数在定义区间上 的一个原函数。

二、选择题（12分）

从四个条件：①充分条件，②必要条件，③充要条件，④既非充分又非必要条件中选择正确答案，将其序号填在下列各题的括号内：

1.导数为零是可导函数的取极值的（ ② ）

2.可导是连续的（ ① ）

3.连续是可积的（ ① ）

4.对于一元函数而言，可导是可微的（ ③ ）

5.有界是可积的（ ② ）

6.函数在一点处左右导数存在且相等是可导的（ ③ ）

三、简述求极限过程中的辩证法（7分）

答（1）反映了矛盾的对立统一法则.

设数列{ }以 为极限，在 无限增大的过程中， 是变量，则有写不尽的数 ， ， … 这反映了变量 无限变化的过程，而极限 则反映了 无限变化的结果.每一个 都不是 ，反映了变化过程与变化结果的对立的一面，使 转化为 ，反映了过程与结果的统一；②因为{ }不可能全部写出来，所以采用 = 与有限数 之差的变化状态来研究，如果其差值趋于0，则数列 的极限为 .所以，极限是有限与无限的统一；③每个 都是a的近似值，n越大近似的程度越好.无论n多大， 总是a的近似值.当n 时，近似值 就转化为精确值a，体现了近似与精确的对立统一.

（2）反映了量变质变的规律.

四、计算题（42分）

1.
解 = ＝ （2x+1）

= 2x+ 1=-4+1=-3.

2.
解 ＝ ＝
＝ ＝
＝e2· = e2· = e2

3.
解 =
= = 1=-1

4.已知函数y= ,求 .

解 = =
= =
=- = .

5.已知 ,求 .

解 ,对等式两边取对数, 得

①

①等式两边对 取导数，有

=
∴ = +
∴ = + .

6. .

解 = =
= = .

五、奇函数 在区间 上的定积分等于多少？并证明之。（9分）

解 (1) 为奇函数时，在区间 上的定积分为零，即

=0

(2)证明 = + . (*)

其中 =-
令 ，则当 时，t=0,当 时,
∴ =- =
与积分符号无关

f(x)为奇函数

- － .

代入(*)，得

= + =- + =0.

六、求抛物线 与直线 所围成图形的面积。(9分)

解 据题意画草图如右.

解联立方程组 ，得交点(-1,1),(2,4).

∴所围成图形的面积为：

S= + -
= = - +4+2- = .

七、已知函数 ,在点 处连续，求 的值（9分）.

解 ∵
∴ .

=
=
=
= .

∵函数 在点 处连续

∴ = = =
∴ .

一、填空（30分）

1、高斯是 18、19 世纪之交的 德 国伟大数学家.

2、若对 ，总存在 ，使得当 时， < 恒成立，则称函数 在点 连续。

3.函数 的定义域如右图所示。

4. 在D上可积的必要条件是 函数 在D上有界 .

5．若AB＝ ，则事件A与B 互斥 .

6.行列式 ＝ 0 .

二、基本运算（32分）

1. ，求
解
＝
2.已知D： 计算
解
＝ .

3．一批产品共有100件，其中正品90件，次品10件，从这批产品中任抽3件，求其中有次品的概率.

解法一 设A＝｛有次品｝， ={有 件次品}， =1,2,3.因而A＝ ，又因 两两互斥，所以由古典概率可知

P( )= P( )=
P( )=
由加法公式，得

P（A）＝P(A1+ A2+ A3) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)

＝0.24768+0.02505+0.00074=0.2735.

解法二 用逆概率公式计算

因为事情A的对立事件为 ＝｛取出的三件产品全是正品｝，所以

P（ ）＝
于是P（A）=1－P（ ）＝1－0.7265=0.2735.

4．求由曲线 与 所围图形的面积.

解 画草图如右.解方程组

得交点（－3，－7），（1，1）.

如图所示，投影到x轴上，可知所围图形为

D：－3≤x≤1,2x-1≤y≤2-x2.

所以所围图形的面积为：

= .

三、计算（30分）

1、 ，求 .

解 设 则z

=
2．求行列式的值
加到①②③列

（－1）×④列分别

解 原行列式

＝x －2
=x
－
＝ =
3.计算二重积分：

，

其中D为由直线x=0，y=x和y=π所围成.

解 画草图，如右。将积分区域D投影到x轴上，用不等式表示D：

D：0≤x≤π,x≤y≤π.

∴

(＊)

其中

代入（＊）式，∴
4. ,求
解 令

四、用矩阵方法解线性方程组（8分）

解 对增广矩阵进行行初等变换
①行加到②行

①×（－2）行加到③行

①行与②行互换

②行与③行互换

（－1）×③行

（－4）×②行加

到③行

∴原方程组可化为
用回代法，自下而上求未知数，

∴方程组的解为

一、填空题（18分）

1、函数在一点有极限的充要条件是 左右导数存在且相等 。

2、使导数为零的点称为 驻点（稳定点） 。

3、简言之，导数是 平均变化率 的极限，定积分是 积分和式 的极限。

4、函数 在〔a,b〕上的拉格朗日中值公式为 。

5、我国数学家祖冲之是 南北朝 时期人。他在圆周率上的贡献是 （1）圆周率在3.1415926与3.1415927之间；（2）约率为 ，密率为 .

6、变上限定积分是 被积函数 的一个原函数。

二、选择题（12分）

从四个条件：①充分条件,②必要条件,③充要条件,④既非充分又非必要条件中选择正确答案,将其序号填在下列各题的括号内:

1、导数为零是可导函数取极值的（ ② ）。

2、可导是连续的（ ① ）。

3、连续是可积的（ ① ）。

4、对于一元函数而言，可导是可微的（ ③ ）。

5、有界是可积的（ ② ）。

6、函数在一点处左右导数存在且相等是可导的（ ③ ）。

三、计算题（42分）

1、
解
＝
2、
解
＝
＝
＝
3、已知 求
解 在y＝（x+1）x＋1两边取对数得lny＝（x+1）ln（x+1），两边对x求导数得：
4、已知 ,求dy

解 dy=y′dx 下面求y′

y′＝
5、
解
＝
6、
解
＝
四、求抛物线 与直线 所围图形的面积（12分）

解 ①先画出抛物线y＝x2－1与直线y=x+2所围图形

②求抛物线y=x2与直线y=x＋2的交点得：A（－1，1）；B（2，4）

③求所围图形的面积S：

＝
五、已知函数 在点 处连续，求A的值（8分）

解 ∵函数f（x）在x＝0处连续

∴
而
∴
∴A＝e.

六、简述求数列极限过程中的辩证法（8分）

答（1）反映了矛盾的对立统一法则.

设数列{ }以 为极限，在 无限增大的过程中， 是变量，则有写不尽的数 ， ， … 这反映了变量 无限变化的过程，而极限 则反映了 无限变化的结果.每一个 都不是 ，反映了变化过程与变化结果的对立的一面，使 转化为 ，反映了过程与结果的统一；②因为{ }不可能全部写出来，所以采用 = 与有限数 之差的变化状态来研究，如果其差值趋于0，则数列 的极限为 .所以，极限是有限与无限的统一；③每个 都是a的近似值，n越大近似的程度越好.无论n多大， 总是a的近似值.当n 时，近似值 就转化为精确值a，体现了近似与精确的对立统一.

（2）反映了量变质变的规律.

一、填空题（18分）

1、简言之，导数是 平均变化率 的极限，定积分是 积分和式 的极限。

2、使导数为零的点称为 驻点 。

3、对矩阵的初等行变换是指 ①交换矩阵的两行；②用非零数乘矩阵某一行的每个元素；③用数乘矩阵某一行的每个元素后加到另一行的对应元素上.

4、设A、B均为n阶方陈，则（AB）′＝ 。

5、变上限定积分是 被积函数 的一个原函数。

6、D(aξ+b)= 。

二、选择题（12分）

从四个条件：①充分条件，②必要条件，③充要条件，④既非充分又非必要条件中选择正确答案，将其序号填在下列各题的括号内：

1、 导数为零是可导函数取极值的（ ② ）

2、对于一元函数而言可导是连续的（ ① ）

3、连续是可积的（ ① ）

4、行列式|A|≠0，是矩阵A可逆的（ ③ ）

5、对于一元函数而言，可导是可微的（ ③ ）

6、系数行列式Δ≠0是线性方程组有唯一解的（ ① ）

三、简述求导数过程中的辩证法（8分）

答（1）反映了矛盾的对立统一法则.

平均变化率与瞬时变化率，近似值与精确值，在取极限之前是各自对立的矛盾，取极限的结果又使矛盾的双方统一起来.

（2）反映了量变质变的规律.

四、计算题（42分）

1、 已知函数y=lnsin( )，求y′

解

2、求极限
解
3、已知z= ，求

解
4、求不定积分
解
5、求不定积分

解 令 则 于是

=
=

6、已知 ，求
解
五、应用题（18分）

已知曲线 以及直线 围成一平面区域D，

1、 用定积分求D的面积

解 ①先画出曲线 , 在直角坐标系中的图像所围成的区域.

②求交点 .

③求所围面积S.

.

2、用二重积分求D的面积.

解 利用二重积分计算D的面积时，被积函数应为1.

六、设随机变量 具有概率密度（8分）

求（1）常数C

解 由 ，可知
即得 ，∴ .

（2）
解
（3）分布函数

解 分布函数为：

当 时，
当 时，
当 时，

=
∴

一、填空（15分）

1、标准正态分布的密度函数为
2、统计分为 描述性 统计和 推断性 统计两类。

3、统计推断的基本内容一是 参数估计 问题，二是 假设检验 问题。

4、对一于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得 AB＝BA＝E ，则A为可逆矩连，B称为A的逆矩阵，记作 。

5、写出函数 在点 关于x的偏导数的定义。

二、计算（20分）

1、求行列式的值

2×①行加

到②行

解 ＝0

2、已知， ， 求
解 A＋B＝ ＋ ＝

AB＝ ＝
AT＝ ＝

3、已知 ，求
解 ＝ , ＝
4、已知 ，求

解 令 .

∴
＝
∴
＝

∴ ＝
三、计算二重积分 ，其中D为由x轴，y轴和单位圆 在第一象限所围的区域（15分）

解 积分区域如右图所示

D：0≤x≤1,0≤y≤

＝ .

四、利用二重积分求由曲线 与直线 所围图形的面积（15分）

解 画单图,如右。积分区域D为

D：－2≤x≤1, ≤y≤
∴
五、某厂拟招工420人，参加招工考试人数为2100人,抽查结果表明考试的平均成绩为120分，标准差为10分，试求录取分数线（注： ）， ）.（15分）

由题设可知，这次考试成绩x～N(120,102)

解 设录取线为 ，作标准化变换：

（＊）

则z～N（0，1）

被录取人数所占比率为P（z≥ ）= =0.2

∴P(- <z< )=1-P(z≥ )=1-0.2＝0.8

由题设 ,知 ＝0.84.

代入（＊）式有0.84= ,

可求得录取分数线 为：

＝10×0.84+120=128.4.

六、某班36名学生经教改实验后参加全校高一数学统一考试。已知该班数学平均成绩为114分，全校高一数学平均成绩为110分，标准差为16分，问该班数学平均成绩与全校数学平均成绩有无显著性差异？ （15分）。

解 (1)提出假设
（2）计算统计量

已知 ，

∴
显著性水平 =0.05,而
（3）统计决断

∴接受原假设 150，拒绝备择假设 ，即该班数学平均成绩与全校数学平均成绩无显著性差异

七、通过概率统计的学习，对你的哲学思想有何启发？（5分）

答 客观世界存在大量随机现象，其结果虽然可能预先不知道，但通过大量试验可以发现，某种随机现象中存在着某种量的规律性，从而进一步明确了哲学中关于偶然中蕴含着必然的客观规律性.

一、已知（14分）

， ，求AB

解

二、用高斯消元法解线性方程组(12分)

解 对方程组作初等变换（交换第一第二个方程）

将（1）×（－2）加到（2），（1）×（－3）加到（3）得：

将第2个方程的－4倍加到第3个方程得阶梯形方程组

用回代法，自下而上，解出未知数，得

三、已知
求（1） ｜（1，0）；（2） （16分）

解 令 则Z＝sinu-lnv，

同理
∴ dZ＝－2cos1dx+ody＝－2cos1dx.

四、已知某班有50名学生，在一次教学考试中得分 如下表所示。试求得分 的数学期望,并写出计算方差的公式（16分）

得分
50
60
70
80
90
100

人 数
2
4
12
16
12
4

注意：小数点后保留二位数字

解

五、已知
（1）求 ； （2）根据连续型随机变量分布函数的定义写出 的计算公式

（3）画出 的草图 （21分）

答（1） ＝1－ ＝1－0.8413=0.1587

（2） ＝ dt

（3） 的数值如图中阴影部分的面积

六、已知平面区域D由直线 、 和 所围成

（1）求D的面积S

（2）求 （16分）

解 画草图，如右，所围图形D为 D：0≤x≤1,-x≤y≤2x

（1）
（2）

七、简述笛卡儿在教学发展中的贡献。（5分）

答 笛卡儿通过坐标系，用坐标法特点与数统一起来，将曲线（曲面）与方程统一起来，从而使几何与几何统一起来，建立了一门新的数学学科，即解析几何。于是变量进入了数学，辩证法进入了数学，微积分也就自然而然产生了使数学从常量数学跌入到变量数学，是数学史上的里程碑式的伟大贡献！