已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB，椭圆c的长轴长是短轴长的2倍

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB，椭圆c的长轴长是短轴长的2倍
求椭圆c的离心率
求椭圆c的方程
若圆Q（x-m）^2+y^2=r^2在椭圆c的内部，且与直线l相切，求圆q的半径r的取值范围

Answer 1

(1).解：由题意可知：a=2b，则椭圆方程为x²+4y²=4b²
将y=2-2x代入椭圆方程，得：17x²-32x+16-4b²=0
令A、B坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=32/17，x1x2=(16-4b²)/17
∴y1y2=4(1-x1)(1-x2)
=4[1-(x1+x2)+x1x2]
=4[1-32/17+(16-4b²)/17]
=4[17-32+16-4b²]/17
=(4-16b²)/17
∵OA⊥OB，∴OA×OB=x1x2+y1y2=0
∴(16-4b²)/17+(4-16b²)/17=20(1-b²)/17=0，则b²=1
∴a²=4b²=4，c²=a²-b²=3
则离心率e=c/a=√3/2

(2).解：
∵b²=1
∴椭圆方程为x²+4y²=4

(3).解：
∵圆Q的圆心为(m,0)，圆心到直线距离为|2m+0-2|/√(2²+1)=2|m-1|/√5
∴圆心在x轴且与2x+y-2=0相切的圆的方程为(x-m)²+y²=4(m-1)²/5
∵圆Q在椭圆内，则直径最大值为x=m时截得的椭圆的弦的长度
即m²+4y²=4，则y²=1-m²/4，m∈[-2,1)∪(1,2]
∴1-m²/4≥4(m-2)²/5，即21m²-64m+44≤0
∴22/21≤m≤2
∵半径的平方r²=4(m-1)²/5
∴4/(5×21²)≤r²≤4/5
∴2/(21√5)≤r≤2/√5
即r的范围为[2√5/105,2√5/5]

Answer 2

由题a=2b,a^2 = 4(b^2),因此c^2 = 3b^2,e = c/a = √3/2
由第一问可知椭圆方程为:C:x^2/4b^2+y^2/b^2=1,(a>b>0),将直线方程带入得:
17x^2-32x+16=0;设A(x1,y1),B(x2,y2)
所以x1+x2=32/17,x1*x2=16-4b^2/17.
又OA⊥OB,x1*x2+y1*y2=0;且直线方程为y=2-2x;
b^2=1;
故椭圆方程为:x^2/4+y^2=1
第三问,依然是联立解方程就ok了