求高手回答，定积分。或者告诉一下，解此题需要哪些知识。下面有图。

Question

求高手回答，定积分。或者告诉一下，解此题需要哪些知识。
积分区间：0到正无穷；
被积函数：分子是exp(-pi*x)-exp(-2pi*x)；分母是x。
这个积分不发散，我用数学软件算过，答案与书上的答案一样。

Answer 1

首先声明(a,b)∫f(x)dx，积分上限为b（右边那个），下限为a，即a到b，不要看反了
楼上，无穷－无穷是不定型，是可能收敛的。
3种方法做这个题
1.二重积分转化法
积分可看作
F(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)]/xdx
F(1)-F(2)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]/xdx
f(y)=F'(y)
就相当于I=(2,1)∫f(y)dy
f(y)=(0,+∞)∫∂[e^(-πyx)]/∂y*1/xdx
=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-πx)*1/xdx
=(0,+∞)∫e^(-πyx)*(-π)dx
=-1/y
对f(y)积分
(2,1)∫f(y)dy=(2,1)∫(-1/y)dy=ln2

2.收敛因子法
乘以收敛因子e^(-xy)可以稍微弱化函数条件
F(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)/xdx
I可以看作I=F(0)-F(+∞)=(+∞,0)∫F(y)dy
被积函数有一阶连续偏导数
求导就是对被积函数求y的偏导数后再积分∂
F'(y)=(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*∂[e^(-yx)]/∂ydx
=-(0,+∞)∫[e^(-πx)-e^(-2πx)]*e^(-yx)dx
=-(0,+∞)∫[e^(-πx-yx)-e^(-2πx-yx)]dx
=-(0,+∞)[-e^(-πx-yx)/(π+y)-e^(-2πx-yx)/(2π+y)]dx
=-[1/(π+y)-1/(2π+y)]
故积分=F(0)-F(+∞)=-(0,+∞)∫[π/(π+y)-2π/(2π+y)]dy
=-(0,+∞)∫ln[(π+y)/(2π+y)]=ln2

3.拉普拉斯变换法
f(t)=(0,+∞)∫[e^(-πtx)-e^(-2πtx)]/xdx
F(s)=(0,+∞)∫{(0,+∞)∫[e^(-πtx)-e^(-2πtx)]/xdx}*e^(-st)dt
s=σ+jω，σ任意取一个使积分收敛的值
交换积分次序
F(s)=(0,+∞)∫dx(0,+∞)∫[e^(-πtx-st)-e^(-2πtx-st)]/xdt
=(0,+∞)∫[1/(πx+s)-1/(2πx+s)]*1/xdx
=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx
=1/s*(0,+∞)∫[-π/(πx+s)+2π/(2πx+s)]dx
=ln2/s
再取拉普拉斯逆变换
1/s的逆变换为u(t)
所以f(t)=u(t)
积分=f(1)=ln2

Answer 2

你的这个积分是收敛的，收敛性证明如图。

但被积函数的原函数不能表示成有限形式的初等函数，定积分的结果也不能用解析法得到。

你可以把(e^-πx)-(e^-2πx)麦克劳林公式展开，进而得到级数形式的原函数，但这个级数好像是不收敛的。

你用matlab，mathematic，matCAD等数学软件可以得到这个积分的任意精度数值解。

Answer 3

圆周率，平方根，微积分，洗漱的指数加减，我们老师就说这么多。

Answer 4

需要知道I E是什么，知道圆周率