与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是______

Question

与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是______．

Answer 1

解：直线的解析式为y=x-4

圆x²+y²+2x-2y=0转化为标准式为：

x²+2x+1+y²-2y+1=1+1

（x+1）²+（y-1）²=2

圆心坐标为（-1，1），圆半径为√2

在直角坐标系中画出直线与圆的图像如下

y=x-4

当x=0时，y=0-4=-4

当y=0时，x=y+4=4

所以点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-4），所以OA=OB

做CD⊥AB

设CD所在直线坐标为y=kx+b

因为CD⊥AB，所以k×1=-1，即k=-1

将圆心坐标（-1，1）代入y=-x+b中得，b=0

所以CD所在直线方程为y=-x

CD过原点O

所以OD为与直线y=x-4和圆都相切的最小圆的直径

OD=√（4²÷2）=√8=2√2

所以最小圆的直径为2√2，半径为√2

因为点D坐标为（2，-2）

所以OD中点的坐标为（1，-1）

则最小圆的方程为：（x-1）²+（y+1）²=（√2）²

x²-2x+1+y²+2y+1=2

x²-2x+y²+2y=0

Answer 2

由题意圆x²+y²+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为

2

，
∴过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，
所求的圆的圆心在此直线上，
又圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为

6

2

=3

2

，
则所求的圆的半径为

2

，
设所求圆心坐标为（a，b）
则

|a?b?4|

2

＝

2

，且a+b=0
解得a=1，b=-1
故答案为（x-1）²+（y+1）²=2

Answer 3

方法就是过已知圆的圆心做直线的垂线。半径最小的圆在该切线上，半径等于圆心到垂足距离减去已知圆半径再除以2.