求半径为4，与圆x 2 ＋y 2 －4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程

Question

求半径为4，与圆x 2 ＋y 2 －4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．

Answer 1

(x－2－2 ) 2 ＋(y＋4) 2 ＝4 2 或(x－2＋2 ) 2 ＋(y＋4) 2 ＝4 2

由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ＝r 2 . 圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C 1 (a，4)或C 2 (a，－4)．又已知圆x 2 ＋y 2 －4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1. ①当C 1 (a，4)时，有(a－2) 2 ＋(4－1) 2 ＝7 2 或(a－2) 2 ＋(4－1) 2 ＝1 2 (无解)，故可得a＝2±2 .∴所求圆方程为(x－2－2 ) 2 ＋(y－4) 2 ＝4 2 或(x－2＋2 ) 2 ＋(y－4) 2 ＝4 2 . ②当C 2 (a，－4)时，(a－2) 2 ＋(－4－1) 2 ＝7 2 或(a－2) 2 ＋(－4－1) 2 ＝1 2 (无解)，故a＝2±2 . ∴所求圆的方程为(x－2－2 ) 2 ＋(y＋4) 2 ＝4 2 或(x－2＋2 ) 2 ＋(y＋4) 2 ＝4 2 .