求定积分∫sinx^ndx 0到π的值，我想知道公式

Question

还有∫cosx^ndx 0到π的定积分公式，好像n要分奇数和偶数，我们老师说是可以直接算出来

Answer 1

∫sinx^ndx(0→π)

=2∫sinx^ndx(0→π/2)

=2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·4/5·2/3·1(n为正奇数）

2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·3/4·1/2·π/2(n为正偶数）

n为正奇数

∫cosx^ndx(0→π)=0

n为正偶数

∫cosx^ndx(0→π)

=2∫cosx^ndx(0→π/2)

=2∫sinx^ndx(0→π/2)

=2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·4/5·2/3·1(n为正奇数）

2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·3/4·1/2·π/2(n为正偶数）

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

∫sinx^ndx(0→π)

=2∫sinx^ndx(0→π/2)

=2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·4/5·2/3·1(n为正奇数）

2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·3/4·1/2·π/2(n为正偶数）

n为正奇数

∫cosx^ndx(0→π)=0

n为正偶数

∫cosx^ndx(0→π)

=2∫cosx^ndx(0→π/2)

=2∫sinx^ndx(0→π/2)

=2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·4/5·2/3·1(n为正奇数）

2(n-1)/n·(n-3)/(n-2)·…·3/4·1/2·π/2(n为正偶数）

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

解：

∫sinx^ndx (0→π)
=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)
=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1 (n为正奇数）
2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2 (n为正偶数）

n为正奇数
∫cosx^ndx (0→π) = 0
n为正偶数
∫cosx^ndx (0→π)
=2 ∫cosx^ndx (0→π/2)
=2 ∫sinx^ndx (0→π/2)
=2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 4/5 · 2/3 · 1 (n为正奇数）
2 (n-1)/n · (n-3)/(n-2) · … · 3/4 · 1/2 · π/2 (n为正偶数）

望采纳

参考资料：《高等数学<第五版> 上册》（同济大学应用数学系 主编）

Answer 4

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