微分法的几何应用。设F(u, v)可微，试证曲面F(cx-az, cy-bz)=0上各点的法向量总

Question

微分法的几何应用。设F(u, v)可微，试证曲面F(cx-az, cy-bz)=0上各点的法向量总垂直于常向量，并指出此曲面的特征。

Answer 1

提示：当 cx - az = C1 和 cy - bz = C2 时，F(cx - az ,cy - bz) = F(C1, C2) 为常数，所以，只要适当选择 C1 和 C2，就能使 F(C1, C2) = 0. 这表明，某条直线 cx - az = C1, cy - bz = C2 在曲面 F(cx - az, cy - bz) = 0 上，所以，该直线的切向量 (a, b, c) 总是垂直于曲面 F(cx - az, cy - bz) = 0 的法向量。但是，这只是证明了 (a, b, c) 在直线上各点与曲面的法向量正交。题目的意思是，有常向量和曲面上任意点的法向量正交。二者之间还有差距。

证明一：先令 G(x, y) = F(cx - az, cy - bz), 则曲面 G(x, y) = F(cx - az, cy - bz) = 0 的法向量是 G 的梯度. 计算出 G 的梯度（用 F 的偏导函数和 a, b, c 表达出来），只要证明它和 (a, b, c) 正交即可。

另一种证明方法：根据梯度概念的来源，要证明 G(x, y) = 0 的法向量和向量 (Tx, Ty, Tz) 正交，只要证明 G 沿着向量 (Tx, Ty, Tz) 的方向导数为零即可。这个方向导数是
G_x(x, y) Tx + G_y(x, y) Ty + G_z(x, y) Tz
= (c Tx - a Tz) F_1 + (c Ty - b Tz) F_2,
其中 G_x 和 G_y 分别是 G 对 x 和 y 的偏导函数，
F_1 = F_x (cx - az, cy - bz), F_2 = F_y (cx - az, cy - bz).
很显然，Tx = a, Ty = b, Tz = c 时，F_1 和 F_2 前面的系数都是零。这就证明了常向量 (a, b, c) 和 F(cx - az, cy - bz) = 0 的法向量正交。