设F(u,v)有连续偏导数，方程F(cx-az,cy-bz)=0确定函数z=f(x,y).求证:

Question

设F(u,v)有连续偏导数，方程F(cx-az,cy-bz)=0确定函数z=f(x,y).求证: a ∂z/ ∂x +b ∂z/ ∂y =c

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

F(cx-az,cy-bz)=0
u=cx-az，v=cy-bz
两边对x求偏导数：
∂F/∂u·∂u/∂x+∂F/∂v·∂v/∂x=0
∂F/∂u·(c-a∂z/∂x)-∂F/∂v·b∂z/∂x→∂z/∂x=c·(∂F/∂u)/(a∂F/∂u+b∂F/∂v)
两边对y求偏导数：
∂F/∂u·∂u/∂y+∂F/∂v·∂v/∂y=0
∂F/∂u·(-a∂z/∂y)+∂F/∂v·(c-b∂v/∂y)→∂z/∂y=c·∂F/∂v/(aF/∂u+b∂F/∂v)
∴a∂z/∂x +b∂z/∂y=ac·(∂F/∂u)/(a∂F/∂u+b∂F/∂v)+bc∂F/∂v/(aF/∂u+b∂F/∂v)
=c[a(∂F/∂u)+b∂F/∂v]/(aF/∂u+b∂F/∂v)
=c