怎么样理解“积定和最小，和定积最大”呢？

Answer 1

积定和最小，和定积最大的意思是对于两个变量，和为定值，积有最大值，积为定值，和有最小值，数学公公示表示如下：

由于a²+b²≥2ab

a²+b²+2ab≥4ab 

所以（a+b)²≥4ab

当和（a＋b）一定时 ，ab≤（a+b)²/4 ,所以ab有最大值（a+b)²/4

若a、b均是正实数，则：a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号。

扩展资料：

如变量x和变量(10-x)和为定值，(0<x<10),就乘积x（10-x）有最大值当x=5时，最大值为25，最大值就在两个变量相等时取到。

和定积最大其意义是长方形的周长一定，其面积有最大值，当且仅当长方形是正方形时面积最大。而积定和最小则是长方形面积一定周长有最小值，当且仅当长方形是正方形时周长最小。

Answer 2

均值不等式：a+b≥2√(ab)

积定和最小：当a和b的乘积一定时候，且a，b都是大于0的，此时a+b有最小值。

和定积最大：当a+b的和一定时候，且a，b都是大于0的，此时ab有最大值。

和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等） 　　

积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等） 

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。

公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

扩展资料：

常用不等式：

①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√(ab)≤(a+b)/2

③a²+b²≥2ab

④ab≤(a+b)²/4

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5>3与3x-2>5是同向不等式。

异向不等式：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。 　　

Answer 3

当两正数的和为常数时，两正数的积只有在两正数相等时才有最大值，若两正数的差值越大，则这两正数的积越小。

举例说明

设a(1)、a(2)、a(3)、…、a(n)都是正实数，则基本不等式可推广为均值不等式：

a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)

（当且仅当a(1)=a(2)=a(3)=…a(n)时取等号）

对推广形式的证明：

我们采用数学归纳法，对n=2，已经成立；

假设结论对n-1已经成立，则：

(n-1)[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

=[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]+[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]+…+[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

≥[a(1)^(n-1)a(2)+a(2)^(n-1)a(3)+…+a(n)^(n-1)a(1)]+[a(1)^(n-1)a(3)+a(2)^(n-1)a(4)+…+a(n)^(n-1)a(2)]+…+[a(1)^(n-1)a(n)+a(2)^(n-1)a(1)+…+a(n)^(n-1)a(n-1)](排序原理)

=a(1)[a(2)^(n-1)+a(3)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+a(2)[a(1)^(n-1)+a(3)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+…+a(n)[a(1)^(n-1)+a(2)^(n-1)+…+a(n-1)^(n-1)]

≥a(1)*(n-1)a(2)a(3)…a(n)+a(2)*(n-1)a(1)a(3)…a(n)+…+a(n)*a(1)a(2)…a(n-1)(归纳假设)

=n(n-1)a(1)a(2)…a(n)

即a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)，结论成立。

应用

和定积最大(即a,b的和确定时,ab取得最大值：

)：当a+b=S时，

（当且仅当a=b时取等号）

积定和最小(即a,b的积确定时,a+b取得最小值：2

)：当ab=P时，

（当且仅当a=b时取等号）

Answer 4

方法一
和定积最大：
假设a+b=n（n为常数），证明ab有最大值。
由题知，ab=a（n-a）=na-a²=-(a²-na)=-(a-n/2)²+n²/4，
所以当a=n/2时，
ab有最大值n²/4，当且仅当a=b=n/2时.
方法二
由不等式
(a-b)²≥0⇒a²-2ab+b²≥0 ⇒a²+2ab+b²≥4ab，
所以（a+b）²≥4ab，
所以ab≤（a+b）²/4
故 ab≤n²/4.
当a>0，b>0，
积定和最小同理可证，
得 a+b≥2√(ab).