二次函数在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x的平方+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半

Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x的平方+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E.

（Ⅰ）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式.

Answer 1

（Ⅰ）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式.

(1)若b=2，c=3，求此时抛物线顶点的坐标y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 所以 x=1的时候y最大值即顶点E坐标(1,4)（2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4=0（点A在点B的左侧），A点坐标(-1,0), B点坐标(3,0)与y轴的正半轴交与点c(0,3)将（1）的抛物线向下平移y=-x^2+2x+3,假设平移m解析式y=-x^2+2x+3-m, 所以C点坐标(0,3-m)S△ABC=1/2|AB|*C到X轴的距离=√4-m*3-mS△BCE=余弦定理推理出或者把图画出来，利用E点到X的距离和xy周形成梯形然后减去三角面积=(√4-m+2)*(4-m)-1/2-1/2*(3-m)*(√4-m+1)m=2 ,解析式y=-x^2+2x+3-m=-x^2+2x+1B点坐标(√2+1,0) ,c(0,1),此时直线BC的解析式y=-1/(√2+1)x+1(3)顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，假设抛物线y=-x^2+2x+3平移后解析式变成y=-(x+a)^2+b顶点E(-a,b)b=-4a+3在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△ABC，C点(0,-a^2+b),A点(-√b-a,0),B点(√b-a,0)余弦定理推理S△BCE=(√b-2a)b-1/2(-a)a^2-1/2(-a^2+b)*(√b-a) 2S△ABC=2√b*(-a^2+b)a2=3ba=3√5-6 a=-3√5-6b=-4(3√5-6)+3=-12√5+27,b=12√5+27 解析方程自己代

Answer 2

(1)若b=2，c=3，求此时抛物线顶点的坐标
y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4 所以 x=1的时候y最大值
即顶点E坐标(1,4)
（2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4=0
（点A在点B的左侧），A点坐标(-1,0), B点坐标(3,0)
与y轴的正半轴交与点c(0,3)
将（1）的抛物线向下平移y=-x^2+2x+3,假设平移m
解析式y=-x^2+2x+3-m, 所以C点坐标(0,3-m)
S△ABC=1/2|AB|*C到X轴的距离=√4-m*3-m
S△BCE=余弦定理推理出或者把图画出来，利用E点到X的距离和xy周形成梯形然后减去三角面积
=(√4-m+2)*(4-m)-1/2-1/2*(3-m)*(√4-m+1)
m=2 ,解析式y=-x^2+2x+3-m=-x^2+2x+1
B点坐标(√2+1,0) ,c(0,1),此时直线BC的解析式y=-1/(√2+1)x+1
(3)顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，
假设抛物线y=-x^2+2x+3平移后解析式变成y=-(x+a)^2+b顶点E(-a,b)
b=-4a+3
在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△ABC，C点(0,-a^2+b),A点(-√b-a,0),B点(√b-a,0)
余弦定理推理S△BCE=(√b-2a)b-1/2(-a)a^2-1/2(-a^2+b)*(√b-a)
2S△ABC=2√b*(-a^2+b)
a2=3b
a=3√5-6 a=-3√5-6
b=-4(3√5-6)+3=-12√5+27,b=12√5+27