设f（cosx）=1+(sinx)^2,求f(x)

Answer 1

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．
（1）若a为实数,试求函数F（x）=f（x）+ag（x）,x∈[0,π/2]的最小值h（a）；
（2）若存在x0∈[0,π/2],使|af（x）-g（x）-3|＜＝1/2成立,求实数a的取值范围．
(1)F(x)=sinx+cosx+2asinxcosx
设t=sinx+cosx,
则t^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
所以2sinxcosx=t^2-1
又t=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=√2sin(x+π/4)
∵x∈[0,π/2] ,x+π/4∈[π/4,3π/4]
∴ sin(x+π/4)∈[√2/2,1]
∴t∈[1,√2]
∴F(x)=y=t+a(t^2-1)=at^2+t-a
当a=0时,y=t∈[1,√2] ,h(a)=1
当a>0时,
y=a[t+1/(2a)]^2-a-1/(4a)
在[1,√2]上递增,t=1时,ymin=1,
当a(√2+1)/2,即 1-√2 at≥t^2+3/2
==>a≥t+3/(2t)
∵ t∈[1,√2],t+3/(2t)递增
∴ t+3/(2t) ∈[5/2,7√2/4]
∴a≥5/2
由 t^2-at+2≥-1/2
==> at≤t^2+5/2
==>a≤t+5/(2t)
∵ t∈[1,√2],t+5/(2t)递增
∴ t+5/(2t) ∈[7/2,9√2/4]
∴a≤9√2/4
∴5/2≤a≤9√2/4