设 F1 F2, 分别是椭圆E：x^2 +y^2/b^2 =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1 的直线

Question

设 F1 F2, 分别是椭圆E：x^2 +y^2/b^2 =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1 的直线
E相交于A、B两点，且IAF2I, IA BI，IBF2I ， 成等差数列。

（Ⅱ）若直线 L的斜率为1，求b的值。

这道题目的答案有几处需要大家讲解，我的分没有了还是希望好心人能帮忙，（答案贴在下面，大家可以对照)

一 c= 根号1--b^2是如何得到的？

二 因为直线AB的斜率为1 ，所以 IABI=根号2 ×lx2 --x1l
请问这个是怎么得到的？是求AB的长度吗？用点到直线那个公式吗？如果是这样 y=x+c 是和 所设的A(x1 y1)还是B(x2 y2)配对？还是两点式？因为看到有A，B 我的思路不清晰，求正解

三：因为直线AB的斜率为1 ，所以 IABI=根号2 ×lx2 --x1l。 即 4/3 =根号2 l x2 --x1l
则 8/9 = (x1 +x2) --4x1x22 = 4(1--b^2)/(1+b^2)^2 --4(1--2b^2)/1+b^2 = 8b^4/(1+b^2)^2
（上面这一小段我都理解困难，为什么因为直线AB的斜率为1 ，所以 IABI=根号2 ×lx2 --x1l，从8/9 = (x1 +x2) --4x1x22以后的计算我也挺蒙的

题目完整答案如下 （II）L的方程为 y=x+c ，c= 根号1--b^2

设 A(x1 y1)，B(x2 y2)则A，B两点坐标满足方程组 y= x+c ,x^2 + y^2/b^2=1

化简得 （1+b^2）x^2 + 2cx +1 --2b^2 =0
x1+x2 = -2c/1+b^2 x1x2 = 1-2b^2 /1+b^2

则因为直线AB的斜率为1 ，所以 IABI=根号2 ×lx2 --x1l
即 4/3 =根号2 l x2 --x1l
则 8/9 = (x1 +x2)^2 --4x1x2= 4(1--b^2)/(1+b^2)^2 --4(1--2b^2)/1+b^2 = 8b^4/(1+b^2)^2

解得b= 根号2/2

Answer 1

问题一：根据椭圆的焦距公式：|F1F2|=2c ，其中c^2 =a^2 - b^2
具体到本题：已知a^2=1 ，b^2 ( 0﹤b﹤1) ；则可得c^2=1 - b^2 ，即：c=√1 - b^2

问题二：设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)
则过点A,B的直线L的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)
∵本题已经给出“若直线 L的斜率为1“这个条件
∴(y2-y1)/(x2-x1) = 1 ， 即：y2-y1 = x2-x1........①
根据两点间的距离公式，有：|AB|=√(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
结合①式，即可得：|AB|=√[(x2-x1)^2 + (x2-x1)^2] = √[2(x2-x1)^2] = √2*|x2-x1|
由题意可知椭圆焦点F1的坐标是(c，0)
又∵直线L过椭圆的焦点F1，且直线L的斜率为1
∴设直线L的方程为：y=x+c

问题三：将直线L与椭圆方程联立，消去y后，得：(1+b^2)x^2 + 2cx + 1-2b^2 =0
再根据韦达定理：x1+x2=-2c/(1+b^2) ， x1x2=(1-2b^2)/(1+b^2)
∵由椭圆的定义，可得：|AF1|+|AF2|=2a ， |BF1|+|BF2|=2a
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a = 4a =4*1 =4
∵点A,B在直线L上
∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4.......②
∵IAF2I, IABI，IBF2I 成等差数列
∴2|AB| = |AF2|+|BF2|.......③
将③带入②，得：|AB|=4/3
∵|AB|=√[2(x2-x1)^2] （推导过程见问题二）
∴4/3 = √[2(x2-x1)^2]
两边平方：16/9 = 2*(x2-x1)^2
8/9 = x2^2 - 2x1x2 + x1^2
8/9 = (x1+x2)^2 - 4x1x2
8/9 = [-2c/(1+b^2)]^2 - 4*[(1-2b^2)/(1+b^2)]
8/9 = 4c^2/(1+b^2)^2 - (4-8b^2)/(1+b^2)
8/9 = 4(1-b^2)/(1+b^2)^2 - [(4-8b^2)(1+b^2)]/(1+b^2)^2 ， （c^2=1-b^2，见问题一）
整理后，得： 8/9 = 8b^4/(1+b^2)^2
9b^4 = 1 + 2b^2 + b^4
(2b^2 - 1)(4b^2 + 1)=0
2b^2 - 1=0或4b^2 + 1=0（舍）
解得：b=√2/2

追问

谢谢你路人__黎，你的答案堪称完美 ，对于像我这样数学基础的人来说，真的是莫大的帮助，这
问题我反复问了好几遍，大家的答案多少省了一些中间环节，一直以来我都似懂非懂 处于思路断续的状态。今天遇上您是我的福，您是个好人，虽然我不认识您，但身处某个城市的我祝愿您幸福健康 ，再次道声感谢。

Answer 2

第一个事公式a²=b²+c² 题目已知a=1
第二个AB的模=根号（K+1)乘以绝对值(X2-X1)
第三个公式椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a
可以得AB+AF2+BF2=4
在利用等差2AB=AF2+BF2