急！！有加分。已知0＜a＜b且a+b=1，下列不等式：1.log2a＞-1。2.log2a+log2b＞-2。3.lo..............

Question

已知0＜a＜b且a+b=1，下列不等式：
1.log2a＞-1。
2.log2a+log2b＞-2。
3.log2(b-a)＜0。
4.log2(a分支b+b分之a)＞1
一定成立的是？
为什么？
要详细过程

Answer 1

以下用 a/b 表示 a 除以b, 即 b分之a .
用 log (a, b) 表示 以a为底, b的对数.
= = = = = = = = =

解：因为 0 <a <b, 且 a+b =1,
所以 2a <a +b =1,
a +b <2b =1,
即 a <1/2,
b >1/2.
所以 0 <a <1/2,
1/2 <b <1.

(1) 因为 0 <a <1/2,
且 f(x) =log (2, x)在 (0, +∞) 上单调递增,
所以 log (2, a) <log (2, 1/2) = -1.
所以 不等式1 不成立.

(2) 因为 0 <a <b,
由基本不等式,
√ab <(a+b)/2 =1/2,
即 ab <1/4.
所以 log (2 ,ab) <log (2, 1/4) = -2.
所以 不等式2 不成立.

(3) 因为 a>0,
所以 b -a <b <1.
所以 log (2, b-a) <log (2, 1) =0.
所以 不等式3 成立.

(4) 因为 b/a >1, 0 <a/b <1,
由基本不等式,
b/a +a/b >2√ (b/a *a/b) =2.
所以 log (2, b/a +a/b) >log (2 ,1) =0.
所以 不等式4 成立.

综上, 只有不等式3,4 成立.

= = = = = = = = =
对数的单调性.
基本不等式 (详见百度百科).

Answer 2

4.log2(a分支b+b分之a)＞1
log2(b/a+a/b)
=log2 (b^2 +a^2)/ab
=log2 [(b-a)^2 +2ab]/ab
0＜a＜b，即b-a＞0
log2 [(b-a)^2 +2ab]/ab＞log2 2ab/ab=log2 2
log2 [(b-a)^2 +2ab]/ab＞1
所以 log2(a分支b+b分之a)＞1

Answer 3

都不是吧。
1：由题知，0<a<0.5，0.5<b<1；log2a>-1=log0.1,即2a>0.1,a>0.05;此不等不恒成立
2：同理，log2a+log2b=log2a*2b=log4ab>log0.01,即4ab>0.01,ab>0.0025,不恒成立
3：log2(b-a)<log1,b-a<0.5不恒成立
4：log2(a/b+b/a)>log10,a/b+b/a>5,（a²+b²）/ab≥2（基本不等），不恒成立

Answer 4

1.满足的条件为a＞二分之一，不成立
2.满足条件为a*b＞四分之一，因为b^2 +a^2＞2ab，b^2 +a^2+2ab=1，所以a*b＜四分之一，不成立
3.满足条件为b-a＜1，明显成立
4.满足条件为(a分支b+b分之a)＞2，因为(b-a)^2＞0，所以b^2 +a^2＞2ab，
(b/a+a/b)
=(b^2 +a^2)/ab
＞2，所以成立