数理统计第六讲(非中心三大分布，beta分布，Z分布，指数型分布族）

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本文深入探讨数理统计中的关键分布与分布族，包括非中心三大分布、Beta分布、Z分布、指数型分布族。

非中心三大分布的构造型定义基于正态随机变量的平方和，但每个变量的期望值可非零，方差保持为1。该分布具有三个特性：特征函数、可加性与数字特征。

特征函数的推导利用了正态随机变量的性质。可加性证明通过表示每个非中心分布为独立正态随机变量的平方和，进而推导结论。数字特征通过拆解正态随机变量为标准正态加常数，利用标准正态的四阶矩，推导出自由度非1时的非中心分布数字特征。

Z分布的密度函数可表示为一个积分形式。其k阶矩和数学期望有明确的公式。Z分布的性质“交友广泛”，能够转换为Beta分布、Gamma分布等，通过随机变量函数的密度变换公式实现。

Beta分布定义有密度函数，与Gamma函数相关。其数字特征，如均值和方差，通过随机变量函数的数学期望公式及配凑密度函数计算得出。Beta分布的密度函数在不同自由度下的形状变化不规律。

Gamma分布定义也有密度函数形式。其k阶矩为明确公式。Gamma分布与Z分布的关系通过随机变量函数的密度变换公式证明，而与F分布的关系涉及变量替换以得到F分布的密度。Gamma分布的数学期望与Z分布相关。

指数型分布族定义为参数分布族，其形式可以写成特定函数的乘积。指数型分布族的关键特性是未知参数与自变量能否分离。正态分布、二项分布、均匀分布等示例展示了如何判断一个分布族是否为指数型分布族。不包含未知参数的支撑集是指数型分布族的重要特征之一。

从指数型分布族中抽取的简单随机样本同样构成指数型分布族。指数型分布族具有很好的解析性质，即在自然形式中，对于实值函数，积分与求导可以交换次序。