帮忙用函数极限定义证明

Answer 1

我们使用定义法证明当 a > 1 时，有 lim[a^(1/n)] = 1。对于任意的 e > 0，存在一个 δ = log_a(e + 1)。当 |x - 0| < δ 时，我们有以下步骤：

1. 设 b = a^(1/n) - 1，于是 a = (x + 1)ⁿ。通过展开 (x + 1)ⁿ，我们可以得到：

a ≥ nx¹ ≥ x² ≥ ... ≥ xⁿ

因此，当 0 ≤ x ≤ a/n 时，我们有：

0 ≤ lim(x) ≤ a/n ≤ 1

2. 根据极限的性质，我们可以得出：

lim(x) = 0

于是我们有：

lim[a^(1/n) - 1] = 0

进而得出：

lim[a^(1/n)] = 1

3. 对于 b = a^(1/n) - 1，我们有：

lim[b^(1/n)] = 1

因此：

lim[a^(1/n)] = lim{1/[b^(1/n)]}

由步骤 2，我们知道：

lim{1/[b^(1/n)]} = 1

因此：

lim[a^(1/n)] = 1

若对证明有疑问，可以追问。请采纳此答案并感谢提供帮助的他人。