替同学问一个关于用定积分求旋转体体积的问题
同济大学第五版上册的 习题6-2中的19题 证明 大概意思是用微元法证明平面图形绕Y轴旋转所成的旋转体体积
已知关于x的方程曲线,x=a,x=b,及x轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周的体积(请看清这几个xy)
V=2pi∫(b,a) x f(x)dx
这个体积元素是2pi xf(x)dx,请问是如何得出的啊?
详细点谢谢啦
把这个小曲边梯形绕y轴旋转一周，所得旋转体可看作是底面为圆环（小圆半径为x，大圆半径为x+dx），高为f(x)的柱体，体积dV=底面积*高=[π(x+dx)^2-πx^2]*f(x)=π[(x+dx)^2-x^2]*f(x)=π(2x+dx)*dx*f(x)
=π[2xdx+(dx)^2]f(x)=2πxf(x)dx((dx)^2略去）
觉得教材关于定积分平面图形绕Y轴的微元法解释的不详细 想真正的弄明白
追答你要化成几个体积的差。我这里画不了图。不好解释啊！
V=pib^2f(b)-pia^2f(a)-∫(f(b),f(a))pix^2dy.....(1)
y=f(x),则dy=f'(x)dx (换元) ,
∫(f(b),f(a))pix^2dy=∫(b,a) pix^2 f'(x)dx=pix^2f(x)l(b,a)-2pi∫(b,a) x f(x)dx(分部积分)
=pib^2f(b)-pia^2f(a)-2pi∫(b,a) x f(x)dx.......(2)
将2带入1式
故v=2pi∫(b,a) x f(x)dx
问一个有关定积分中求旋转体体积的问题
任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长）故dV=2πxf(x)dx
替同学问一个关于用定积分求旋转体体积的问题
把这个小曲边梯形绕y轴旋转一周，所得旋转体可看作是底面为圆环（小圆半径为x，大圆半径为x+dx），高为f(x)的柱体，体积dV=底面积*高=[π(x+dx)^2-πx^2]*f(x)=π[(x+dx)^2-x^2]*f(x)=π(2x+dx)*dx*f(x)=π[2xdx+(dx)^2]f(x)=2πxf(x)dx((dx)^2略去）...
定积分求旋转体体积
1. 绕x轴旋转产生的旋转体体积计算如下：体积 V = ∫(从0到4) π(√x)^2 dx = π ∫(从0到4) x dx = π * [x^2\/2] 从0到4 = π * (4^2\/2 - 0^2\/2)= π * (16\/2)= 8π 2. 绕y轴旋转产生的旋转体体积计算如下：体积 V = ∫(从0到2) 2πx√x dx = 2π...
高等数学,定积分应用,求旋转体的体积?
其体积V等于右半圆周x＝b+√(a^2-y^2)、y＝-a、y＝a、y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所得立体的体积V1减去左半圆周x＝b-√(a^2-y^2)、y＝-a、y＝a、y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所得立体的体积V2，
怎么用定积分求旋转体的体积?
定积分求旋转体体积如下：一.套筒法 套筒法，顾名思义，就是将图形绕Y轴旋转所得的形状像套筒一样，所以起名叫做套筒法，那么应该怎么使用，公式又是什么呢?先不要着急，我们来看看一个案例，然后思考公式，这样更能容易理解和记住。比如上面函数f(x)，取微元[x,x+dx]∈[a,b]绕Y轴旋转，把它...
定积分求旋转体体积
绕x轴旋转产生的旋转体体积=∫π(√x)²dx=π(4²-1²)\/2=15π\/2；绕y轴旋转产生的旋转体体积=∫2πx√xdx=2π(2\/5)(4^(5\/2)-1^(5\/2))=124π\/5.
定积分旋转体的体积公式
定积分旋转体体积公式绕x轴旋转产生的旋转体体积=∫π (√x)2dx =π (42-12)\/2=15π\/2定积分求旋转体体积的两个公式分别什么情况用dy求积分法设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a此时对任意取定的x0∈[a，b]，过（x0，y0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面为底...
定积分怎么求旋转体的体积公式?
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。不定积分：不定积分是一组导数相同的原函数，定积分则是一个数值...
定积分求旋转体体积
旋转体的体积可以通过定积分来计算。对于一个平面图形绕着某直线旋转一周形成的旋转体，其体积V可以表示为：V=∫π*f(x)^2dx。其中f(x)是该平面图形的面积函数，积分号表示对某个区间上的x进行积分。定积分求旋转体体积具体应用实例 1、球的体积计算 在球的体积计算中，可以使用定积分的方法。设...
如何解旋转体体积题?
主要采用定积分方法吧，先求出微体积，再做定积分就可以了。1、绕x轴旋转时，微体积 dV = πy^2dx，或者：dV = π(sinx)^2dx，将dV在0到π之间对x做定积分，得到：V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)\/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。即，给定函数，绕...
