高中数学数列难题 高手来！

Question

求详细步骤

Answer 1

解析如下：

第一个空：由已知，a[1]是x的一次项的系数，a[n]是x的n次项的系数，所以有

a[1]＝(-1)(-2)…(-(n-1))＝(-1)^(n-1)·(n-1)!，

a[n]＝1，

所以 a[1]a[n]＝(-1)^(n-1) · (n-1)! ；

第二个空：由已知得

b[1]n+b[2]n^2+b[3]n^3

+…+b[n]n^n+b[n+1]n^(n+1)

＝g(n)＝f(n)(n-n)＝0，

且因b[n+1]是x的n+1次项的系数而知 b[n+1]＝1，

所以有

b[1]n+b[2]n^2+b[3]n^3+…+b[n]n^n

＝-n^(n+1)，

此式两边都除以n便得

b[1]+nb[2]+(n^2)b[3]+…+(n^(n-1))b[n]

＝-n^n .

追问

请问a1具体怎么算出来的

追答

根据已知 f(x)＝x(x-1)(x-2)…(x-n+1)＝a[1]x+a[2]x^2+…+a[n]x^n ，以下给出两种求a[1]的方法：
【方法一】a[1]是x的系数，也就是 (x-1)(x-2)…(x-n+1)的展开式的常数项，所以 a[1]＝(-1)(-2)…(-n+1)＝[(-1)^(n-1)](n-1)!；
【方法二】f'(x)＝a[1]+2a[2]x+…+na[n]x^(n-1)，所以 a[1]＝f'(0)，再由 f(x)＝x(x-1)(x-2)…(x-n+1)及乘积的求导法则知，由此式导出的n项中不含x因子的项只有(x)'(x-1)(x-2)…(x-n+1)这一项(∵(x)'=1)，所以 a[1]＝f'(0)＝(0-1)(0-2)…(0-n+1)＝[(-1)^(n-1)](n-1)!

追问

感叹号是什么意思

追答

设n为正整数，则“n!”读作“n的阶乘”，定义为
n!＝1×2×3×…×n，
例如：
1!＝1，
2!＝1×2＝2，
3!＝1×2×3＝6，
4!＝1×2×3×4＝24，
… … …
(另外，规定 0!＝1)

追问

好的谢谢😜