在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1,CC1的中点

Question

若正方体棱长为a，求平面EB1D1与平面FBD间的距离 请写一下过程

Answer 1

解：
建立空间直角坐标系D-xyz，
D(0,0,0,),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),
A1(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a),
E(a,0,a/2),F(0,a,a/2)
向量EB1＝(0,a,a/2),
ED1=(-a,0,a/2)
平面EB1D1的法向量m=(x,y,z)，则m.EB1=0,
m.ED1=0
得ay+az/2=0,
-ax+az/2=0
令z=2，得x=1,y=-1,
m=(1,-1,2)（法向量不唯一，视你选定的z或x,y而不同）
同理可得FBD的法向量n,
且n是与m平行的，说明FBD与EB1D1平行。
F在面FBD内，E在面EB1D1内，向量EF＝(-a,a,0)
EF在m上的投影的绝对值就是所求的距离。
d=|EF.m|/|m|=a/√3=√3a/3