连续/可导/极限之间有什么关系呢？

Question

函数在点a处可导的充分必要条件是左导数和右导数存在并相等，那么满足条件下，如果在a处没有定义，也可以算做可导了？不是说可导必连续，连续不一定可导吗

Answer 1

一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。

对于单元函数 可微和可导是相同的，但对于多元函数则不一样，多元函数中各个偏导函数连续才能推出可微 ，多元函数可微则可以推出各偏导存在、各个方向的方向导数存在。

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右。

扩展资料：

可导的话一定连续，但连续不一定可导。

证连续的一般方法是左极限=右极限，所以如果极限存在的话一定连续，极限存在、连续都不能推出可导。

但反之能推出，证可导的方法除了定义还就是左导-右导；反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白。

多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。

多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。

参考资料来源： 百度百科——极限（数学术语）

参考资料来源：百度百科——连续（数学名词）

参考资料来源：百度百科—— 可导

Answer 2

关于函数的导数和连续有比较经典的四句话：1、连续的函数不一定可导。2、可导的函数是连续的函数。3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
极限就好说了，跟可导、连续关系不大。

Answer 3

关于函数的导数和连续有比较经典的四句话：1、连续的函数不一定可导。2、可导的函数是连续的函数。3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
极限就好说了，跟可导、连续关系不大。

Answer 4

可导必连续，连续那么函数在该点的极限也必存在，且等于该点的函数值。反之，不一定。

Answer 5

可导必连续，连续必然极限存在。反之则不正确。极限定义式中，就说明了在，该点附近（左右），函数值一直存在的。。

追问

十分感谢您。没选择您的原因是，我是知道在该点附近极限存在的，我不知道在该点有没有定义对函数导数的影响，我也没明白为什么您说连续必然极限存在…我把概念混淆了