1^b+2^b+3^b+……+a^b 这个数有什么公式吗

Question

我不需要知道a趋近无穷时的值，事实上，a最大需要到10^9.你不需要给我最终的一个公式，只要给计算方法就行了。比如怎样用矩阵求解。

Answer 1

补充一下，公式还是有的，不过要a趋近正无穷时我们可以给出一个不错的估计。
记B(n)为Bell数。B(n)为一个n元集合的划分个数，也是n元集合上的等价关系个数。
于是有B(n)=(1/e)(1^n/n!+2^n/n!+3^n/n!...)（一直加到正无穷）
(Dobinski公式)
于是1^b+2^b+3^b+……+a^b当a无穷大的时候约等于e.B(a).a!。
不过当a有限的时候，我只会手工一个一个去求。
譬如b=1时为n(n+1)/2
还有b=2时为n(n+1)(2n+1)/6

那我告诉你一个递归算法吧，应该能写成程序的：
算1^b+...+a^b的时候我们用(1+X)^{b+1}的展开式，里面的系数是杨辉三角形的某一行（应该是b+2行，有不同的定义）。
于是令X从0到a做所有这些多项式的和，会得到
(1+a)^{b+1}=a^{b+1}+...+1
(1+(a-1))^{b+1}=(a-1)^{b+1}+...+1
...
(1+0)^{b+1}=0^{b+1}+...+1
把上面的按b的次数加起来得到：
左边=
(1+a)^{b+1}+...+(1+0)^{b+1}
右边=
a^{b+1}+...+(1+0)^{b+1} (可以跟左边消)
+(C_n^1)(a^{b}+...+0^{b}) ...(!)
+(C_n^2)(a^{b-1}+...+0^{b-1}) ...(已知)
+...
+(C_n^(n-1))n (已知)
+n
+1

把右边的第一团东西跟左边消去以后，就有
(1+a)^{b+1}=
(C_n^1)(a^{b}+...+0^{b}) ...(!)
+(C_n^2)(a^{b-1}+...+0^{b-1}) ...(已知)
+...
+(C_n^(n-1))n (已知)
+n
+1
除了(!)以外，其它都是我们已经知道的多项式，所以我们能得到(!)的一个多项式表达式。
而(!)就是我们要求的和。

Answer 2

直接来一个1^b+2^b+3^b+……+a^b 简明实用的计算近似公式:

b<-1, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = (1/(-b-1))* [ 1- a^(b+1) ]+(1+a^b)/2 +ε , 其中误差ε介於0至1/2.
b=-1, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = ln(a)+1/2 +ε , 其中误差ε介於0至1/2.
-1<b<0, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = (1/(b+1))* [ a^(b+1) -1 ]+(1+a^b)/2 +ε , 其中误差ε介於0至1/2.
b=0, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = a
0<b<1,1^b+2^b+3^b+……+a^b = (1/(b+1))*[ a^(b+1) -1 ] +(a^b +1)/2 -ε,其中误差ε介於0至a^b/2.
b=1, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = (1/2)*[a^2] +a/2
b>1, 1^b+2^b+3^b+……+a^b = (1/(b+1))* [ a^(b+1) -1 ]+(a^b +1)/2+ε , 其中误差ε介於0至a^b/2.

计算结果误差不会大於最大一项的一半

Answer 3

（1 2 3 .......a) *( 1 0 0 0 ......0 *(1 2 3 ......a)T
0 2 0 0 .......0
......
.....
0 0 0 0........a)^(b-2)
T是转置 ，中间乘的是个对角矩阵的（b-2)次方

追问

解释清楚一些

追答

第一项是一行a列矩阵，第二项是a阶对角阵的b-2次方，第三列是a行一列矩阵。
举例：（1 2）*（1 0 *（1 =1^3+2^3
0 2） 2）

Answer 4

当b是正整数的时候，有公式，就是著名的接龙定理了 。例如1^3+2^3+3^3+...+n^3=1/4*n^2*(n+1)^2

Answer 5

第一项是一行a列矩阵，第二项是a阶对角阵的b-2次方，第三列是a行一列矩阵。
举例：（1 2）*（1 0 *（1 =1^3+2^3
0 2） 2）