如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B

Question

如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在x轴上．
（1）当t为何值时，点M与点O重合；
（2）求点P坐标和等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
哪里的中考题啊？？？
我想问 这是哪儿的

Answer 1

解：（1）点M与点O重合．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．
由OB=12，
∴AB=8 ，AO=4 ．
∵△PON是等边三角形，
∴∠PON=60度．
∴∠AOP=60度．
∴AO=2AP，即4 =2 t，
解得t=2．
∴当t=2时，点M与点O重合．

（2）如图②，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S，
可求得AQ= AP= ，PS=QO=4 - ．
∴点P坐标为（ ，4 - ）．
在Rt△PMS中，sin60°= ，
∴PM=（4 - ）÷ =8-t．

（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，见图③．
设PN交EF于点G，则重叠部分为直角梯形FONG，
作GH⊥OB于点H．
∵∠GNH=60°，GH=2 ，
∴HN=2．
∵MP=8-t，
∴BM=2MP=16-2t．
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t．
∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t．
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t．
∴S= （2+t+4+t）×2 =2 t+6 ．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S最大=8 ．
（Ⅱ）当1＜t≤2时，见图④．
设PM交EF于点I，交FO于点Q，PN交EF于点G．
重叠部分为五边形OQIGN．
OQ=4 -2 t，FQ=2 -（4 -2 t）=2 t-2 ，FI= FQ=2t-2．
∴三角形QFI的面积= （2 t-2 ）（2t-2）=2 （t2-2t+1）．
由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2 t+6 ，
∴S=2 t+6 -2 （t2-2t+1）=-2 （t2-3t-2）．
∵-2 ＜0，
∴当t= 时，S有最大值，S最大= ．
综上所述：当0≤t≤1时，S=2 t+6 ；当1＜t≤2时，S=-2 t2+6 t+4 ；
∵ ＞8 ，
∴S的最大值是 ．

Answer 2

解：（1）点M与点O重合．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．
由OB=12，
∴AB=8 3 ，AO=4 3 ．
∵△PON是等边三角形，
∴∠PON=60度．
∴∠AOP=30度．
∴AO=2AP，即4 3 =2 3 t，
解得t=2．
∴当t=2时，点M与点O重合．
（2）如图①，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S，
可求得AQ=1 2 AP= 3 t 2 ，PS=QO=OA-AQ=4 3 - 3 t 2 ．
QP=AQcot30°= 3 × 3 2 t=3 2 t．
∴点P坐标为（3 2 t，4 3 - 3 t 2 ）．
在Rt△PMS中，sin60°=PS PM ，
∴PM=（4 3 - 3 t 2 ）÷ 3 2 =8-t．

（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，见图②．
设PN交EF于点G，则重叠部分为直角梯形FONG，
作GH⊥OB于点H．
∵∠GNH=60°，GH=2 3 ，
∴HN=2．
∵MP=8-t，
∴BM=2MP=16-2t．
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t．
∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t．
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t．
∴S=1 2 （2+t+4+t）×2 3 =2 3 t+6 3 ．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S最大=8 3 ．
（Ⅱ）当1＜t≤2时，见图③．
设PM交EF于点I，交FO于点Q，PN交EF于点G．
重叠部分为五边形OQIGN．
OQ=4 3 -2 3 t，FQ=2 3 -（4 3 -2 3 t）=2 3 t-2 3 ，FI= 3 3 FQ=2t-2．
∴三角形QFI的面积=1 2 （2 3 t-2 3 ）（2t-2）=2 3 （t2-2t+1）．
由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2 3 t+6 3 ，
∴S=2 3 t+6 3 -2 3 （t2-2t+1）=-2 3 （t2-3t-2）．
∵-2 3 ＜0，
∴当t=3 2 时，S有最大值，S最大=17 3 2 ．
综上所述：当0≤t≤1时，S=2 3 t+6 3 ；当1＜t≤2时，S=-2 3 t2+6 3 t+4 3 ；
∵17 3 2 ＞8 3 ，
∴S的最大值是17 3 2 ．

Answer 3

这题是2011年东港二模的26题