已知ABC是不全相等的正数

Question

已知ABC是不全相等的正数
求证：A（B平方+C平方）+D（A平方+C平方）+C（A平方+B平方）>6ABC

已知AB都是正数，XY都是实数，且A+B=1
求证：AX平方+BY平方大于或等于（AX+BY）平方

谢谢热心网友
挖撒，都回答的很好，真不知道分给谁呢？

Answer 1

1. A^2+B^2>=2AB 当且仅当A=B等号成立
B^2+C^2>=2BC 同上
A^2+C^2>=2AC 同上
因ABC为不全相等的正数，代入可得结论

2. AX^2+BY^2-(AX+BY)^2=（A-A^2)X^2+(B-B^2)Y^2-2ABXY
=A(1-A)X^2+B(1-B)Y^2-2ABXY=ABX^2+ABY^2-2ABXY
=AB(X^2+Y^2-2XY)>=0
得证

Answer 2

(1)b方+c方>2bc (因为abc不等所以原本是大于等于号，现在为大于号)同理b方+a方>2ab,a方+c方>2ac所以a（b平方+c平方）+b（a平方+c平方）+c（a平方+b平方）>2abc+2abc+2abc=6abc
(2)ax^2+by^2-(ax+by)^2=（a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy
=a(1-a)x^2+b(1-b)y^2-2abxy=abx^2+aby^2-2abxy=ab(x^2+y^2-2xy)>=0

Answer 3

要证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)
只需证2(a^3+b^3+c^3)-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(b+a)>0
而2(a^3+b^3+c^3)-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(b+a)
=2(a^3+b^3+c^3)-a^2*b-a^2*c-b^2*a-b^2*c-c^2*b-c^2*a
=a^2*(a-b)+a^2*(a-c)+b^2*(b-a)+b^2*(b-c)+c^2*(c-b)+c^2*(c-a)
=(a-b)(a^2-b^2)+(a-c)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)
=(a-b)(a+b)(a-b)+(a-c)(a+c)(a-c)+(b-c)(b+c)(b-c)
=(a-b)^2*(a+b)+(a-c)^2*(a+c)+(b-c)^2*(b+c)
因为abc是不全相等的正数
所以a+b,a+c,b+c全大于0,a-b,a-c,b-c不全为0
所以(a-b)^2*(a+b)+(a-c)^2*(a+c)+(b-c)^2*(b+c)>0
即2(a^3+b^3+c^3)-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(b+a)>0
即2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a)

Answer 4

1.ABC是不全相等的正数
A（B平方+C平方）+D（A平方+C平方）+C（A平方+B平方）>A*2BC+B*2AC+C*2AB=6ABC
A（B平方+C平方）+D（A平方+C平方）+C（A平方+B平方）>6ABC
2.