已知函数f﹙x﹚＝X³＋ax²＋bx＋c的图像如图所示，与直线y=0在原点处相切，且此切线与函数所围成

Question

已知函数f﹙x﹚＝X³＋ax²＋bx＋c的图像如图所示，与直线y=0在原点处相切，且此切线与函数所围成的区域面积为27/4
（1）求函数y=f(x)的解析式
（2）设m＞1,如果点（m,n）可作为函数y=f(x)的三条切线，求证1-3m＜n＜f(m)
第一问已经计到为f(x)=x³－3x²
第二问令g(x)=2x³－﹙3m+3﹚x²＋6mx＋n
g(x)极大值=g(1)=3m－1＋n
g(x)极小值=g(m)=-m³＋3m²＋n
之后就不知道怎么办了

Answer 1

对你所做的补充
问题变为g(x)=0有三解，又可以转化成 g(x)极大值>0
g(x)极小值<0
即3m－1＋n>0...............则1-3m＜n
-m³＋3m²＋n<0...........则n＜m³-3m²=f（m）
所以有1-3m＜n＜f(m)

追问

问题变为g(x)=0有三解，又可以转化成 g(x)极大值>0
g(x)极小值<0
点解可以转化噶？

追答

解就是和x轴的交点横坐标，你画一下图像，有三解只有这种情况，你可以画一下g(x)极大值0，都不可能画出有三个交点的

Answer 2

过原点,c=f(0)=0.
导函数过原点,b=f'(0)=0.
f(x)=x^3+ax^2=x^2(x+a)
2个零点, x=0, x=-a.
f(x)在x=0与x=-a之间与y=0形成封闭区域.

27/4=|S_{0->-a}f(x)dx|=|S_{0->-a}[x^3+ax^2]dx|=|a^4/4-a^4/3|=a^4/12
a^4=3^4
a=3或a=-3.
若图像中，封闭区域位于Y轴右侧，则a<0, a=-3.
f(x)=x^3-3x^2.
f'(x)=3x^2-6x,
过点(m,n)作y=f(x)的切线，切点为点(t^3-3t^2, t), 则切线方程为，
(y-n)/(t^3-3t^2-n) = (x-m)/(t-m),
y=[(t^3-3t^2-n)/(t-m)](x-m)+n
(t^3-3t^2-n)/(t-m)=3t^2-6t,
t^3-3t^2-n=(3t^2-6t)(t-m)=3t^3-3(m+2)t^2+6mt,
0=t^3-[3(m+1)/2]t^2+3mt+n/2
有3个根，t(1),t(2),t(3).
则
t^3-[3(m+1)/2]t^2+3mt+n/2=[t-t(1)][t-t(2)][t-t(3)]=t^3-[t(1)+t(2)+t(3)]t^2+[t(1)t(2)+t(2)t(3)+t(3)t(1)]t-t(1)t(2)t(3),
n=-2t(1)t(2)t(3),
3(m+1)/2=t(1)+t(2)+t(3),
3m=t(1)t(2)+t(2)t(3)+t(3)t(1),
t(3)=3(m+1)/2-t(1)-t(2)
3m=t(1)t(2)+[t(1)+t(2)][3(m+1)/2-t(1)-t(2)]=t(1)t(2)+3[t(1)+t(2)](m+1)/2 - [t(1)+t(2)]^2,
n=-2t(1)t(2)[3(m+1)/2-t(1)-t(2)]=-3(m+1)t(1)t(2)+2t(1)t(2)[t(1)+t(2)]

先到这里吧。。。。

Answer 3

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