若x和y为正数且x^2+y^2=1, 问(x^3+y^3)/(xy)最小值为何?

Answer 1

(x^3+y^3)/(xy)最小若且唯若其平方最小. [(x^3+y^3)/(xy)]^2 = (x^6+y^6)/(x^2y^2) +2xy = [(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)]/(x^2y^2)+2xy = [1-3x^2y^2]/(x^2y^2)+2xy = 1/(xy)^2 +2(xy) - 3 x^2+y^2 = 1 且 x
y > 0
则 xy 最大是 1/2
发生 在 x=y=1/√2. f(t) = 1/t^2 + 2t
0 < t ≦ 1/2
微分法可证在此范围 最小值是 f(1/2) = 5. 所以 [(x^3+y^3)/(xy)]^2 最小值是 2
(x^3+y^3)/(xy) 最小值是 √2. 当 x=y=1/√2 时
代入 (x^3+y^3)/(xy) 亦可算得其 值为 √2. 关于 x^2+y^2=1 时 xy 最大值的问题. 可用图示法得之. 或分两步
首先是在 x+y = s 限制下得 xy 最大发生在 x=y=s/2; 其次是在 x^2+y^2=1 限制下 x+y 最大是 直线 x+y = s 与 x^2+y^2 = 1 相切
此时 x = y = 1/√2. 关于 f(t) = 1/t^2 + 2t
0 < t ≦ 1/2 之上升下降
除微分法外
可用 f(t+Δ)-f(t) 之正负来看
利用 0 < t ≦ 1/2
在 0 < Δ < t 之下可证 f(t+Δ) < f(t).