（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:
封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。
那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。
（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”
（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：
1.封闭性。2.结合律。
(群一定是半群，但是半群不一定是群。)
有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。
（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足
1.（R，+）是Abel群。
2.（R，*）是半群。
3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c
则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。
（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。
综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。
（1）群：集合G上定义了二元运算记作“ * ”，满足以下四个条件:
封闭性。2.结合律。3.含幺。4.有逆。
那么该集合和二元运算一起构成的代数结构（G，*）称作一个群。
（2）Abel群：二元运算还满足交换律的群。所以Abel群也叫做交换群，是一类特殊的群。二元运算记作“ + ”
（3）半群：集合上定义的二元运算，满足前两个条件：
1.封闭性。2.结合律。
(群一定是半群，但是半群不一定是群。)
有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。
（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足
1.（R，+）是Abel群。
2.（R，*）是半群。
3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c
则集合R和两个二元运算构成的代数结构叫做环。
（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。
综上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。环是在Abel群的基础上进行“修饰”，也就是再增加一种二元运算使得集合构成半群，且两种运算满足上面提到的分配率。最后域是环的子集，要求增加的这种二元运算还要满足含幺和交换律。
以上为网友 cfwengf 的回答 补充一下：
（5）域：环中的半群结构，满足含幺和交换律，则称作域。可见域是一种特殊的环。
此处还应当满足有 逆元 才能称为域，即域为交换的除环
参考“Abstract Algebra Theory and Applications --Thomas W. Judson”2016版书中第182-183页
数学上的群、域、环等有什么区别和联系?
2. 环(Ring)是一种代数结构，基于阿贝尔群(交换群)添加了一种二元运算，通常称为乘法。环由两部分组成：(R, +)和(R, \\cdot)。环需满足以下公理：- (R, +)构成交换群：加法运算封闭，满足结合律，存在加法单位元0，每个元素都有加法逆元。- (R, \\cdot)构成半群：乘法运算封闭，满足结合律...
群、域和环是什么关系?
域就像是一杯混合果汁，它比群更加丰富多样！域不仅满足群的所有条件，还要添加一些特性。首先，域中的每个元素都有加法和乘法两种操作，就像一杯果汁可以有不同的成分调和而成。其次，域中的加法和乘法都要满足交换律，就像果汁中的各种成分可以随意调换顺序。最后，域中还有一个特殊元素叫做零元素，就像...
数学上的群、域、环等有什么区别和联系?
2、环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：①(R, +)是交换群 封闭性：a + b is another element in the set 结合律：(a + ...
群环域的定义和区别
群、环、域是抽象代数中的基本概念，它们都是建立在非空集合上的代数结构，但具有不同的定义和性质。群是一个具有二元运算的集合，满足结合律、存在单位元和逆元。这个二元运算通常称为乘法，但也可以是加法或其他符号表示的运算。群是最基本的代数结构之一。环则包含两个二元运算：加法和乘法。加法运算...
数学上的群,域,环等有什么区别和联系
1.封闭性。2.结合律。(群一定是半群，但是半群不一定是群。)有了以上的定义，我们来看一下什么是环和域。（4）环：设集合R上定义了两个二元运算“ + ”，“ * ”且满足 1.（R，+）是Abel群。2.（R，*）是半群。3.两种运算满足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c 则集合R和两个二元...
离散数学:群、环、域
群定义，由特定集合与二元运算组成，满足结合律，且存在幺元与逆元。群性质，群的封闭性，结合律，幺元与逆元的存在。常见群实例，包括但不限于数域。环定义，集合内包含加法与乘法运算，满足加法群性与乘法半群性。交换环与幺环概念，乘法运算满足交换律与存在幺元。整数环为典型环实例。域定义，集合...
数学中,群、环、域、集分别是什么?它们的范围不同吗?
群：在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。环(Ring)：是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。域：定义域，值域，数学名词，...
如何理解高等代数中的群、环、域?
探索高等代数中的群、环、域，首先需要理解集合的概念。集合是构成高等代数基础的原始单位，代表一组具有共同属性的元素。在集合的概念基础上，逐步引入了约束，以构建更复杂的数学结构。原群(Magma)是集合上的任意运算集合，但可能缺乏结合律。进一步地，半群(Semigroup)要求运算满足结合律，形成有序的...
「纠错码-1」群、环、域
群、环、域的阶即指元素的个数。群、环、域之间的关系紧密，群是环的特殊情况，环是域的特殊情况。总结，群、环、域是数学中重要的概念，它们在抽象代数中扮演着核心角色。群定义了封闭性、结合律、单位元与逆元的性质，环进一步引入了加法与乘法运算，并要求加法运算满足额外性质，而域则在环的基础...
如何理解高等代数中的群、环、域?
在高等代数的浩瀚星海中，群、环与域如同璀璨的星辰，各自闪烁着独特的光芒。它们不仅是代数学的核心概念，更承载着数学结构与运算的秘密。让我们一起揭开这些抽象概念的神秘面纱，探索它们的内涵和应用。<\/ 群，这个概念的诞生仿佛是数学对秩序的追求。它要求每一个元素与另一个元素的“结合”（加法运算...
