难题，懒人勿进。关于“1/n(n趋向无限大)，实数点，0”。

Question

无限集合中，自然数集N的势比实数集合R的小一阶。

若n为自然数，当n“达到”（或趋向）无限大时，是否仍在N级无限大，而不能达到“或趋向”R级无穷大？

若是，极限理论会否有古怪的东东出现，即n趋向无限大时，1/n并不等于0？

因为无限大的阶可以“无限”提升（虽然我们无法描述出来），所以不存在“绝对无限大”，也即无法通过“除法”或“超除法”来得到0？？

1/n(n为无限大)，是对自然数单位1进行N级无限分割，得到的代数数单位？
实数点，是假设为连续的实数轴上的单位，可否认为是对1进行R级无限“超分割”得到？（即实数不是“超连续”的，而只在N级分辨上是连续的？）
0，无法通过任何分割得到？

即，1/n(n为无限大)＞实数点＞0？？？
谢谢回答！另，可能我表达得不是很准确，但请认真理解提问先。

是我的错，表达不好。对1无限分割与实数点的差异，看来大家都不愿思考了。

谢谢，psimercury，这是对角线构造法吧。
又有疑问，如此“反”下去，最终的小数是“非”小数记数法可区分的。因为，在N级无限的步骤（数位）内，总可以添加新的xn，只有当“反”步骤（数位）的无限势高于N级时，才能区分开。即此构造小数的数位是不可列的，不能列为小数点后第1位、第2位……第无限位……
所以我才觉得小数记数法不能完全表示实数。

Answer 1

我知道你是什么意思了，原因在于楼主把一个问题搞混淆了
楼主的思想是把1进行分割来得到很小的量，当分割足够细，或者说，分母足够大的时候，得到的量就可以逼近0.
这里涉及到的问题是：这个分割的“细不细”的程度，是由什么决定的？
答案是由分母（一个正实数）的大小决定的，而不是由所有可选的分母的集合的势决定的！
注意1/n的分割方法，只不过是用1去除以自然书集里的数字，并不是用1去除以自然数集的势!
用1/a （a是实数）来逼近0也一样，a是实数而已，而不是实数集的势。
楼主就是把这两个地方混淆了。
实数集的势确实比自然数集大，但是，这其实没什么用。这并不能保证实数集里的数字就一定比自然数集里的数大。事实上，这两个集合里的大数字都是一样大的。

至于小数和实数是不是一样的？当然是一样的
首先，小数都可以表示成无限小数。
比如0.5,按照国际标准，它的标准形式为0.49999999....
所以小数（必定是无限的）可分成循环的和不循环的。
无限不循环小数就是无理数了，循环的是有理数。
无限不循环小数只是无法用笔准确地写在纸上，但，这并不代表它不存在。
可以这么理解，对于任何一个无理数（比如说超越数e），你任意指定一个位数（比如说第123456789位），只要给我足够长的计算时间，我都可以给出小数点后这一位上的数字是多少，所以说e的小数表示是完全确定的。
也就是说，实数都可以用小数表示。
事实上，出现这种情况的原因很简单。。。。。。这其实是规定。。。。。。小数的良好的定义，保证了，小数集=实数集！

这样不知道解答你的疑惑了没？

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楼主你到底想问什么呢？

如果是分割的问题，那么我已经回答你了，你那种对分割的理解根本就是混淆了分割的定义

现在是不是问题变成了小数能不能表示实数？

那么也可以回答，其实，我上面已经说过了，小数为什么能表示实数

因为实数是人造的，是有理数的完备扩充，是有着良好定义的，这可以去看实数理论。而小数又是什么？小数是人们为了能方便的表示实数，而想出来的一种实数的表示方法，并且利用实数的阿基米德性和完备性，可以证明这种表示，是一一对应的。所以，小数能表示实数，原因在于良好的定义！

至于你的那种感觉，错在哪里。
请你注意，小数点后每一位能选10个数字填充，所以是10种选择方法，一共有可数个位置，所以设可数的势为a的话，那么实数就有10^a这么多。而2^a=c(c是实数的势）这个公式你知道吧？那10^a当然也=c了
也就是说，如果势a跑到指数的位置上时，这个集合的势是要至少跳到c的
而a^2,a^n=a,这是因为这时候a是在底数的位置上的。
这些都是有严格证明的，所以你如果直观想象不出来，那不是说它错了，只能说，这些知识比较神奇，是超越了人们的直观感受的

Answer 2

我想大概你的主要困惑就在于你认为由小数表示的(0,1)由于每个小数位都有0~9表示，所以与N等势，因而小数表示法无法表示(0,1)内的任何实数，其实小数表示的(0,1)的势比自然数要大，这个接下来证明。

你可能需要一个证明来使你相信小数表示是不可列的（即不与N等势），往证该论断：
为简单起见，我们考虑小数的一个子集，即集合M={x|0<x<1,x的小数位上仅有0和1两个数，如0.110100...或0.0010110...等}
假设该集合与N等势，则集合中的元素可列，即可表示为x1,x2,x3，.....，约定记号(x1(j)表示x1的第j位小数，x2(k)表示x2的第k位小数，依此类推）
现构造x，满足x(1)（代表x的第1位小数）= x1(1)“取反”（即x1(1)为1则x(1)取0，否则x(1)取1），x(2) = x2(2)“取反”，...，于是得到x，显然x不等于任意一个xi,但x又属于M，得到矛盾，由此M不可列，从而小数表示的(0,1)不可列。（证明方法源于二进制表示的实数）

Answer 3

搞清楚概念，就不会有怪东东出现。

一、搞清楚“n趋向无限大时，1/n等于0”的意思。
这只是一种通俗的说法，不是严格的数学描述。极限表达式{n→∞}lim(1/n)=0,不能理解为一种可以最终达到0的过程，它只是一个赋值定义。趋近无限的过程本身没有终点，所以0是达不到的，0是序列1/n不能超越的下界，并且不存在比0更大的下界，这个下界我们给它一个符号吧，就是lim了.这lim就是一种算符了，可以研究它的运算规则。

二、不要把“无穷集的势”等同于实数
自然数集的势ω不再是自然数，实数集的势c更不是。自然数有自然数的运算规则，那就是皮亚诺公理。而无穷集的势则有它们的运算规则，两者有很大的不同。所以就不能混为一谈了。

1/ω,1/c是没有定义的，所以既不能说1/ω=0，也不能说1/ω＞1/c。还没定义的东东怎么说得上呢。

“n为无穷大”的说法也不严格，自然数里没有无穷大。

Answer 4

1/n应是无限趋向于0而不等于0，像反比例函数的图象一样.还有(n为无限大)这个说法是有误的，应该是（n趋向无限大，即{n→∞}lim(1/n)=0,）.

Answer 5

初接触这些东西就是会钻牛角尖，
这些问题我当初都考虑过，……接着往后学，
这些东西会自然而然迎刃而解的！