两道数学竞赛题

Question

1.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象的顶点为C,它与X轴有两个不相同的交点A和B.(1)若点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8,求方程ax^2-(6a-b)x+9a-3b+c=0的根(2)若点C到X轴的距离等于A，B两点距离的K倍，求证：b^2-4ac=16k^2
2.已知抛物线y=mx^2-(3m+四分之三)x+4与X轴交于两点A,B,与Y轴交于C点,若三角形ABC是等腰三角形,求抛物线的解析式

Answer 1

1.(1)因为点C的横坐标是3,A,B两点的距离是8
所以AB横坐标为-1、7
y=a（x+1）（x-7）=ax^2-6ax-7a=ax^2+bx+c
b=-6a c=-7a
所以方程根为X=2，X=10
（2）AB距离L^2=(-b/a)^2-4c/a
C到x的距离=4a/(4ac-b^2)的绝对值
解得b^2-4ac=16k^2