如图,AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.

Question

(1)求证；DE为圆O的切线
（2）求证：AB:AC=BF:DF

Answer 1

连接OD、AD，∵AB是直径，∴AD⊥BC,

(1)、在Rt⊿ADC中，∵CE=EA,∴DE=AC/2=AE,∠1=∠2；

在Rt⊿ADB中，∵AO=OB,∴OD=AB/2=AO,∠3=∠4，

得∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=∠OAE，

∵AC是⊙O的切线，∠OAE=90°∴∠ODE=90°,DE是⊙O的切线。

(2)、∵DE是⊙O的切线,∴∠FDB=∠4，⊿FDB∽⊿FAD,

得BF/DF=BD/DA，而由Rt⊿ADB∽Rt⊿CAB,有BD/DA=AB/AC，

∴AB/AC=BF/DF。

Answer 2

（1）证明：连结OD,　
　　　　　因为　AB是圆O的直径，
　　　　　所以　O是AB的中点，
　　　　　又　　E是AC的中点，
　　　　　所以　OE//BC,
　　　　　所以　角ODB=角DOE,角OBD=角AOE,
　　　　　因为　OB=OD,
　　　　　所以　角ODB=角OBD,
　　　　　所以　角DOE=角AOE,
　　　　又因为　OD=OA,　OE=OE,
　　　　　所以　三角形OED全等于三角形OAE,
　　　　　所以　角ODE=角OAE,
　　　　　因为　AB是圆O的直径，AC与圆O相切于A,
　　　　　所以　角OAE=90度，
　　　　　所以　角ODE=90度，
　　　　　所以　DE为圆O的切线。
（2）证明：因为　OE//BC,　
　　　　　所以　AB：AC=OA：AE,
　　　　　　　　BF：OB=DF：DE,即：BF：DF=OB：DE,
　　　　　因为　DE,AC都是圆O的切线，
　　　　　所以　AE=DE,
　　　　　又　　OA=OB,
　　　　　所以　OA：AE=OB：DE,
　　　　　所以　AB：AC=BF：DF。