积分从0到四分之派x/sinx,tanx/x的大小

Question

积分从0到四分之派x/sinx,tanx/x的大小

Answer 1

题意是否是比较“比较tanx/x以0为下限4分之π为上限的积分”与1之间的大小，原体等价于判断：

u =[0,π/4] ∫(tanx/x)dx -1 >0,=0,或者 f(x) = sinx/(x*cosx) - 1/cos²x

= (sinx*cosx -x)/cos²x

在单位圆中，当x∈(0,π/2]时

角x对应扇形面积=1/2*1²*x =1/2x

两半径与夹角x构成的三角形面积= 1/2*sinx

因此有：x>sinx

∴ 对于 x∈(0,π/4]有 sinx*cosx < sinx

(0,π/4)

sinx < tanx

∫(0->π/4) sinx dx < ∫(0->π/4) tanx dx

积出来是(1+tan(x)^2)/x-tan(x)/x^2 大约是0.84。

扩展资料：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个Z上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对F中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

参考资料来源：百度百科-积分

Answer 2

(0,π/4],sinx＜sinx/cosx=tanx

故sinx/x＜tanx/x，根据推论

在区间上的积分

前者也小于后者

Answer 3

题意是否是比较“比较tanx/x以0为下限4分之π为上限的积分”与1之间的大小,以下按此作答
原体等价于判断
u =[0,π/4] ∫(tanx/x)dx -1 >0,=0,或者 f(x) = sinx/(x*cosx) - 1/cos²x
= (sinx*cosx -x)/cos²x
在单位圆中,当x∈(0,π/2]时
角x对应扇形面积=1/2*1²*x =1/2x
两半径与夹角x构成的三角形面积= 1/2*sinx
因此有：x>sinx
∴ 对于 x∈(0,π/4]有 sinx*cosx < sinx