己知抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A，B两点，（A在B的左侧），与y轴交于C，若OB=OC，且C（0，3）．①求抛物

Question

己知抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A，B两点，（A在B的左侧），与y轴交于C，若OB=OC，且C（0，3）．①求抛物线的解析式；②设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；③在抛物线上是否存一点M，过M作MN⊥x轴于N，以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）易知B（3，0），C（0，3），代入抛物线的解析式中，得：

9a?12a+b＝0 b＝3

，解得

a＝1 b＝3

；
∴y=x²-4x+3．

（2）如图；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3

2

；
易知A（1，0），D（2，-1），
则∠ADP=45°，AD=

2

，AB=2；
∴∠ABC=∠ADP=45°；
①当点P在x轴上方时，
已知∠APD=∠ACB，则△APD∽△ACB，得：

PD

BC

＝

AD

AB

，即

PD

3 2

＝

2

2

，故PD=3，P（2，2）；
②当点P在x轴下方时，此时P′、P关于x轴对称，故P′（2，-2）；
因此有两个符合条件的P点，且坐标为P（2，2）或（2，-2）．

（3）∵A（1，0），C（0，3），
∴OC=3OA=3；
又∠AOC=∠ANM=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，
则AN=3MN或3AN=MN；
设M（m，m²-4m+3），则N（m，0）；
①当m＜1时，AN=1-m，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，1-m=3（m²-4m+3），解得m=

8

3

，m=1；
若3AN=MN，3（1-m）=m²-4m+3，解得m=0，m=1；
由于m＜1，且m≠0，故上述四个解都不符合题意；
②当1＜m＜3时，AN=m-1，MN=-（m²-4m+3）；
若AN=3MN，m-1=-3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=

8

3

；
若3AN=MN，3（m-1）=-（m²-4m+3），解得m=0（舍去），m=1（舍去）；
故M（

8

3

，-

5

9

）；
③当m＞3时，AN=m-1，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，m-1=3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=

10

3

；
若3AN=MN，3（m-1）=m²-4m+3，解得m=1（舍去），m=6；
故M（

10

3

，

7

9

）或（6，15）；
综上所述，存在符合条件的M点，且坐标为：M₁（

10

3

，

7

9

），M₂（6，15），M₃（

8

3

，-

5

9

）．