一道小小的高数问题，题目如图，先求出z对x的一阶偏导，此时按图片中左下角铅笔所写的求二阶偏导为什么

Question

一道小小的高数问题，题目如图，先求出z对x的一阶偏导，此时按图片中左下角铅笔所写的求二阶偏导为什么不对。我认为就是将一阶偏导看成f，然后f对x求偏导就是二阶偏导了。求高人解答，明白的话会提高悬赏，谢谢啦

Answer 1

你的想法是对的，你铅笔写的第一部也是对的，但是请注意：z也是x的函数啊，你在求导时应该根据复合函数链式求导法则，既要对x求导（也就是你已经写的第二部），还要对z求导（你没求，所以错了），而答案就是这么做的。你看答案是两部分的和，第一部分和你一样，是1/(2-z)，还有另一部分，就是对z求导的结果。不知说的是否明白？

追问

第一部z是x的函数是因为z,x同在等式左边，要用隐函数公式。求出z对x的偏导后，将这个偏导看成f=这个偏导，再求f对x的偏导就应该按照正常的偏导求啊，就是把除了x以外的参数看做常数。

第二部是x/2-z整个这个式子对x求偏导，而不是z对x求偏导了。我知道我肯定错了，但不明白额。。。

追答

你的追问，除了“就是把除了x以外的参数看做常数”之外，都是对的

题目已经明确了z是x的函数，你怎么能把z看作常数呢？！

按照你这个思路，那为什么第一步z对x求导时，你不把除了x以外的所有参数看做常数呢？

我把题目变一下，你看这个怎么做

追问

那像类比这个例二

第一部的目的就是把f求出来，而第二部就当作一道新题来做

是不是因为能求出f的前提是把x当做x的函数啊

把z当做x的函数

追答

求f=x/(2-z)对x的导数，只有在明确z不是x的函数的情况下，才可以把z看作常数
而不是你说的，因为是对x求导，所以就把x以外的参数看作常数
你的这个认识刚好是本末倒置

追问

好好好，谢啦

再麻烦问下，那第一部里z对x的偏导=-Fx/Fz，这时求Fx或者Fz时为什么不把z看做x的函数啊，这也是整个式子对x求偏导啊

追答

求Fx或者Fz，是F对x或z的偏导，并没有给出z和x的关系，所以把他们看作独立变量，看看公式5-4说明的方法。
另外还有一种方法，直接用隐函数求导的方法：那个等式两边同时对x求导。因为那个等式确立了z对x，y的关系，才说z是x的函数。

追问

为什么F,f不同对待啊

同样是一个式子对x求偏导

追答

对于你最后给出的这幅图片的题，fx=1/(2-z)，因为z不是x的函数
而原题就不一样了，原题给出的那个等式确定了z与x的关系

追问

题里z确定为x的函数是始终的，也不是第一步做完后才确定的啊

追答

你看一下公式5-4说明的方法，你给出的题目的答案的做法是在公式5-4说明的方法的条件下做的，如果直接求Fx,那还真不是等于2x

追问

这就是5-4啊

对呀，就是求Fx为什么不考虑z为x的函数呢

追答

这个定理表达的Fx的意思是F(x,y,z)对第一项的偏导数，或者可以记为F1,并不是你理解的对x的偏导数。



追问

懂了，谢啦

追答

弄明白了就好