定积分的换元法应该怎样用?

Question

比如;x属于【1，4】，求（4-x^2)^(1/2)的dingjifen

Answer 1

我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。
定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式:

例题:计算
解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是：

注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。
定积分的分部积分法
计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。
设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得：
上式即为定积分的分部积分公式。
例题：计算
解答：设，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是：

故：

Answer 2

一般来说换元法，就是把一堆东西等于t然后 把x全部替换成t 。但是你给的这个题很复杂啊。我估计要用三角换元，而且跟着积分域也要换！像普通人这种用脑子想是困难的！只有翻一翻高数课本上关于换元法讲解才有能解出来（手上没有高数书）。

Answer 3

Answer 4

∫(0->2) dx/[(x+1)^(1/2) +(x+1)^(3/2)]
let
u = (x+1)^(1/2)
du =(1/2)(x+1)^(-1/2) dx
dx = 2u du
x=0, u=1
x=2, u=√3
∫(0->2) dx/[(x+1)^(1/2) +(x+1)^(3/2)]
=∫(1->√3) 2u du/( u +u^3)
=∫(1->√3) 2 du/( 1 +u^2)
=2[arctanu]|(1->√3)
=2( π/3 -π/4)
=π/6