如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

（1）证明：取AB中点为O，连结OD、OP，
∵PA=PB，∴AB⊥OP，
又AB⊥PD，OP∩PD=P，
∴AB⊥平面POD，
∵OD?平面POD，∴AB⊥OD，
由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，∴OD⊥PB，
∵AB∩PB=B，∴OD⊥平面PAB，
又OD?平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OB、OD、OP两两垂直，
以O为坐标原点，以OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设OB=1，则B（1，0，0），P（0，0，

3

），D（0，1，0），C（1，2，0），
则

BD

＝(?1，1，0)，

PD

＝(0，1，?

3

)，

DC

＝(1，1，0)，
设

m

=（x，y，z），是平面PDB的法向量，
则

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