三角比应用题

Question

已知水渠的水断面面积为定植的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有2种设计，1）过水断面为等腰三角形ABC，AB=BC,过水湿周l1=AB+BC 2）过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD,AD平行于BC,角BAD=60°，过水湿周l2=AB+BC+CD，若三角形ABC和梯形ABCD面积都为S
1）分别求l1和l2的最小值
2）为使流量最大，给出最佳设计方案

注意是三角比的题目

Answer 1

首先我不明白什么叫三角比
是正、余弦公式，还是数学竞赛涉及的定比分点。
不管三七二十一，:-)，先做了再说
1）第一问：
SABC=0.5*|AB|*|BC|*sinB
Sabcd=0.5*|bc+ad|*|ab|*((root3)/2)--------root（3）代表：根号下3
（大小写区分三角形与四边形（梯形））
令AB=m,则BC=m
又令ab=n，显然ad=n+bc,ab=cd=n
所以L1=2m， L2=2n+bc
因SABC=Sabcd=S
SABC=0.5* (m^2) *sinB=S
m=root(S/(0.5*sinB)) 大于等于 root(S/0.5)
L1的最小值为2*root（S/0.5）=root(2S)
Sabcd=(root(3)/4) * (n+2|bc|)*(n)= S
|bc|=L2-2n
(root(3)/4) * (2L2-3n)*(n)= S ---------（未完）
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小弟：如果看不懂就别看了。
这题有年头不做了。无奈我脑子没那么灵活，只能用作弊方法（导数）
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继续：
令L2=y
y*2n-3n^2=S/(root(3)/4)
据题意，此方程有极值且为极小值
因而y'=0取f（n）极小值（注：f（n）=L2）
求导：
y' * 2n+ 2y - 6n=0
y'=(y-3n)/n=0 (n不为0)
则y=3n
即L2=3n时取最小值
代入(root(3)/4) * (2L2-3n)*(n)= S
即(1/3)*L2^2 = S/(root(3)/4)
L2min=2*root（root(3)S）
注：极小即最小值验证略去
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2)第二问：
由题知水渠的水断面面积为定植的情况下，过水湿周越小，其流量越大
要使流量最大，L1,L2均取极小（最小）
由一问知
对于三角截面方案
AB=BC=0.5 * root(2S)
对于四边形截面方案
AB=BC=CD=(2/3)* root（root(3)S）

参考资料：100%原创（没功劳也有苦劳，请LZ评定一下吧；）