高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案

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　　高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案

　　一、教学内容分析

　　本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)第三章第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式(组)的解集;借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的最值与最优解问题;运用线性规划知识解决一些简单的实际问题(如资源利用,人力调配,生产安排等)。突出体现了优化思想，与数形结合的思想。本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它体现了数学源于生活而用于生活的特性。

　　二、学生学习情况分析

　　本小节内容建立在学生学习了一元不等式(组)及其应用、直线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数形结合思想有所了解. 但从数学知识上看学生对于涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。

　　三、设计思想

　　以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、思考、猜想探究的兴趣。注重引导学生充分体验“从实际问题到数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问题的能力。

　　四、教学目标

　　1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的概念,掌握用平面区域刻画二元一次

　　不等式(组)的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、

　　可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法

　　求线性目标函数的最值与相应最优解;

　　2、过程与方法:从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,提高学生的数学建模能力;

　　在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、

　　化归能力、探索能力、合情推理能力;

　　3、情态与价值:在应用图解法解题的过程中,培养学生的化归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，培养学生的数学应用意识;体验数学来源于生活而服务于生活的特性.

　　五、教学重点和难点

　　重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区域刻画二元一次不等式组

　　的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;

　　难点:二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情境中抽象出数学问题的过

　　程探究,简单的二元线性规划问题的图解法的探究.

　　六、教学基本流程

　　第一课时,利用生动的情景激起学生求知的欲望,从中抽象出数学问题,引出二元一次不等式(组)的基本概念,并为线性规划问题的引出埋下伏笔.通过学生的自主探究,分类讨论,大胆猜想,细心求证,得出二元一次不等式所表示的平面区域,从而突破本小节的第一个难点;通过例1、例2的讨论与求解引导学生归纳出画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的具体解答步骤(直线定界,特殊点定域);最后通过练习加以巩固。

　　第二课时,重现引例,在学生的回顾、探讨中解决引例中的可用方案问题,并由此归纳总结出从实际问题中抽象出数学问题的基本过程:理清数据关系(列表)→设立决策变量→建立数学关系式→画出平面区域.让学生对例3、例4进行分析与讨论进一步完善这一过程,突破本小节的第二个难点。

　　第三课时,设计情景,借助前两个课时所学,设立决策变量,画出平面区域并引出新的问题,从中引出线性规划的相关概念,并让学生思考探究,利用特殊值进行猜测,找到最优方案;再引导学生对目标函数进行变形转化,利用直线的图象对上述问题进行几何探究,把最值问题转化为截距问题,通过几何方法对引例做出完美的解答;回顾整个探究过程,让学生在讨论中达成共识,总结出简单线性规划问题的图解法的基本步骤.通过例5的展示让学生从动态的角度感受图解法.最后再现情景1,并对之作出完美的解答。

　　第四课时,给出新的引例,让学生体会到线性规划问题的普遍性.让学生讨论分析,对引例给出解答,并综合前三个课时的教学内容,连缀成线,总结出简单线性规划的应用性问题的一般解答步骤,通过例6,例7的分析与展示进一步完善这一过程.总结线性规划的应用性问题的几种类型,让学生更深入的体会到优化理论,更好的认识到数学来源于生活而运用于生活的特点。

　　七、教学过程设计

　　第一课时: 二元一次不等式组与平面区域(1)

　　(一)引入:

　　(1)情景1

　　王老汉的疑惑:秋收过后,村中拥入了不少生意人,收购大豆与红薯,精明的王老汉上了心,一打听,顿时喜上眉梢.村中大豆的收购价是5元/千克,红薯的收购价是

　　2元/千克,而送到县城每千克大豆可获利1.2元,每千克红薯可获利0.6元,王老汉决定明天就带上家中仅有的1000元现金,踏着可载重350千克的三轮车开始自己的发财大计,可明天应该收购多少大豆与红薯呢?王老汉决定与家人合计.回家一讨论,问题来了.孙女说:“收购大豆每千克获利多故应收购大豆”,孙子说:“收购红薯每元成本获利多故应收购红薯”,王老汉一听,好像都对,可谁说得更有理呢?精明的王老汉心中更糊涂了。

　　【问题情景使学生感受到数学是来自现实生活的，让学生体会从实际问题中抽象出数学问题的过程;通过情景我们不仅能从中引出本堂课的内容“二元一次不等式(组)的概念,及其所表示的平面区域”,也为后面的内容“简单的线性规划问题”埋下了伏笔.】

　　(2)问题与探究

　　师:同学们,你们能用具体的数字体现出王老汉的两个孙子的收购方案吗?

　　生,讨论并很快给出答案.(师,记录数据)

　　师:请你们各自为王老汉设计一种收购方案.

　　生,独立思考,并写出自己的方案.(师,查看学生各人的设计方案并有针对性的请几个同学说出自己的方案并记录,注意:要特意选出2个不合理的方案)

　　师:这些同学的方案都是对的吗?

　　生,讨论并找出其中不合理的方案.

　　师:为什么这些方案就不行呢?

　　生,讨论后并回答

　　师:满足什么条件的方案才是合理的呢?

　　生,讨论思考.(师,引导学生设出未知量,列出起约束作用的不等式组)

　　师,让几个学生上黑板列出不等式组,并对之分析指正

　　(教师用多媒体展示所列不等式组,并介绍二元一次不等式,二元一次不等式组的概念.)

　　师:同学们还记得什么是方程的解吗?你能说出二元一次方程二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的一组解吗?

　　生,讨论并回答(教师记录几组,并引导学生表示成有序实数对形式.)

　　师:同学们能说出什么是不等式(组)的解吗?你能说出二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的一组解吗?

　　生,讨论并回答(教师对于学生的回答指正并有选择性的记录几组比较简单的数据,对于这些数据要事先设计好并在课件的坐标系中标出备用)

　　(教师对引例中给出的不等式组介绍,并指出上面的正确的设计方案都是不等式组的解.进而介绍二元一次不等式(组)解与解集的概念)

　　师:我们知道每一组有序实数对都对应于平面直角坐标系上的一个点,你能把上面记录的不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解在平面直角坐标系上标记出来吗?

　　生,讨论并在下面作图(师巡视检查并对个别同学的错误进行指正)

　　师,利用多媒体课件展示平面直角坐标系及不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解所对应的一些点,让学生观察并思考讨论:不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解在平面直角坐标系中的位置有什么特点?(由于点太少,我们的学生可能得不出结论)

　　师,引导学生在同一平面直角坐标系中画出方程二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解所对应的图形(一条直线,指导学生用与坐标轴的两个交点作出直线),再提出问题:二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置有什么特点?

　　生,提出猜想:直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 分得的左下半平面.

　　【教师通过几个简单的问题,让学生产生了利用平面区域表示二元一次不等式的想法,而后再让学生大胆的猜想,细心的论证,让他们从中让体会到对新知识进行科学探索的全过程.】

　　师:这个结论正确吗?你能说出理由来吗?

　　生,分组讨论,并利用自己的数学知识去探究.(由于没有给出一个固定的方向,所以各人用的方法不一,有的可能用特殊点再去检验,有的可能会试着用坐标轴的正方向去说明,也有的可能会用直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 下方的点与对应直线上的点对照比较的方法进行说明)

　　师,在巡视的基础上请运用不同方法的同学阐述自己的理由,并对于正确的作法给予表扬,然后用多媒体展示出利用与直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 横坐标相同而纵坐标不同的点对应分析的方法进行证明.

　　师:直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的右上半平面应怎么表示?

　　生:表示为二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 ,(很快回答)

　　师: 从中你能得出什么结论?

　　生,讨论并得到一般性结论(教师总结纠正)

　　(教师总结并用多媒体展示,二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 表示直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的某侧所有点组成的平面区域,因不包含边界故直线画成虚线;二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 表示的平面区域因包含边界故直线画成实线.)

　　师:点O(0,0)是不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 一个解吗?据此你能说出不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 对应的平面区域相对与直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的位置吗?

　　生,作图分析，讨论并回答(师,对学生的回答进行分析)

　　师:结合上面问题请同学们归纳出作不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 对应的平面区域的过程.

　　生,讨论并回答(师,对于学生的答案给以分析,并肯定其中正确的结论)

　　师:你们能说出作二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 对应的平面区域的过程吗?

　　生,讨论并回答(教师总结并用多媒体展示:直线定界,特殊点定域)

　　师:若点P(3,-1),点Q(2,4)在直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的异侧,你能用数学语言表示吗?

　　生,讨论,思考(教师巡视，并观察学生的解答过程，最后引导学生得出：一个是不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解,一个是不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解)

　　师:你能在这个条件下求出二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的范围吗?

　　生.讨论分析，最后得到不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 并求解.

　　师:若把上面问题改为点在同侧呢?请同学们课后完成.

　　【在教师的帮助下学生通过自己的分析得出了正确的结论,让他们从中体会到了获取新知后的成就感,从而增加了对数学的学习兴趣.同时也让他们体会人们在认识新生事物时从特殊到一般,再从一般到特殊的认知过程.】

　　(二)实例展示:

　　例1、画出不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 表示的平面区域.

　　例2、用平面区域表示不等式组二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 的解集.

　　【通过利用多媒体对实例的展示让学生体会到画出不等式表示的平面区域的基本流程:直线定界,特殊点定域,而不等式(组)表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.同时对具体作图中的细节问题进行点拔.】

　　(三)练习:

　　学生练习P86第1-3题.

　　【及时巩固所学,进一步体会画出不等式(组)表示的平面区域的基本流程】

　　(四)课后延伸:

　　师:我们在今天主要解决了在给出不等式(组)的情况下如何用平面区域来表示出来的问题. 如果反过来给出了平面区域你能写出相关的不等式(组)吗?例如你能写出A(2,4),B(2,0),C(1,2)三点构成的三角形内部区域对应的不等式组吗?

　　你能写出不等式形如二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 这种不等式表示的平面区域?

　　(五)小结与作业:

　　二元一次不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 表示直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 某侧所有点组成的平面区域,画出不等式(组)表示的平面区域的基本流程:直线定界,特殊点定域(一般找原点)

　　作业：第93页A组习题1、2，

　　补充作业:若线段PQ的两个端点坐标为P(3,-1), Q(2,4),且直线二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题的模块单元教学设计 与线段PQ

　　高中数学必修5《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案

　　【知识网络】

　　1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法;

　　2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值;

　　3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。

　　【典型例题】

　　例1：(1)已知点p(x0，y0)和点a(1，2)在直线 的异侧，则( )

　　a. b. 0

　　c. d.

　　答案: d。解析：将(1，2)代入 得小于0，则 。

　　(2)满足 的整点的点(x，y)的个数是 ( )

　　a.5 b.8 c.12 d.13

　　答案：d。解析：作出图形找整点即可。

　　(3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0表示的平面区域是 ( )

　　答案：c。解析：原不等式等价于

　　两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域.

　　(4)设实数x, y满足 ，则 的最大值为 .

　　答案: 。解析：过点 时， 有最大值 。

　　(5)已知 ，求 的取值范围 .

　　答案： 。解析：过点 时有最小值5，过点(3，1)时有最大值10。

　　例2：试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面区域的面积大小.

　　答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：

　　① 或 ②

　　上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分.

　　它所围成的面积s= ×4×2- ×2×1=3.

　　例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.

　　(ⅰ)求函数g(x)的解析式;

　　(ⅱ)若h(x)=g(x)- f(x)+1在[-1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。

　　答案: (ⅰ)设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则

　　∵点 在函数 的图象上

　　∴

　　(ⅱ)

　　①

　　②

　　ⅰ)

　　ⅱ)

　　例4：要将两种大小不同的钢板截成a、b、c三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

　　今需要a、b、c三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少?

　　答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则

　　且x，y都是整数.

　　求目标函数z=x+y取得最小值时的x，y的值.

　　如图，当x=3，y=9或x=4，y=8时，z取得最小值.

　　∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢

　　板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.

　　【课内练习】

　　略