线性代数 计算行列式 求解答第(4)

Answer 1

按照定义算就可以，答案是a^2b^2.
如果对行列式很熟，如下办法会稍微快一点。设最终得到行列式d。
首先，d一定是关于a和b的一个多项式，总次数为4。
其次，当a=0时，前两行相同，故行列式为零，这说明d含有因子a。同理d含有因子b。
故而可设d=ab(x1*a^2
x2*b^2
x3*ab
x4*a
x5*b
x6)，
(1)
其中的x1,...,x6是常数。
然后，从原行列式观察到互换a和b得到的行列式必相同，故
x1=x2,
x4=x5.
(2)
然后，观察到d的值在b=a和b=-a时是相同的（因为在这两种情况下，前两行一致，后两行和后两列分别互换即得到相同）。把b=a和b=-a分别代入(1)得到
x1=x2=x5=x6=0.
(3)
联立(2)(3)得到x4=0，将它们代入(1)得到d=c*a^2b^2，其中c是常数。
令a=b=2，代入原式，每行除以2（这抵消掉a^2b^2做的贡献），得到一个0-1四阶矩阵，然后生算它的行列式（注意这比生算原来的行列式容易一些），值是1，这就是常数c。故而d=a^2b^2.

Answer 2

追问

那个1/d是哪里来的呀，我们没学到😣

Answer 3

追问

请问第一步为什么可以按r1展开啊

Answer 4

追问

乘了—a倍以后，前面不用提—(1/a)吗

追答

如果是某行（列）变成 -a 倍， 外面要乘以 -1/a。
现在是第 2 列的 -a 倍加到第 1 列， 外面无需乘以 -1/a。
去看一下书上行列式的性质。

Answer 5

你学了按行（列）展开的话就很简单，找0多的一行或一列算容易一些。在这里我们找到第一列，或者第四行都可以，然后根据公式计算即可

追问

刚学，但是按按行列展开不是需要一排只有一个不是零嘛，我不太会变化

追答

按行（列）计算不需要条件

你也可以先把第三列加上第四列分之一，这样可以把最后一行只剩一个d，就更好算了

然后再按第四行展开计算