命题逻辑简介（一）

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命题逻辑，专注于基本命题的真值逻辑，其核心在于原子公式（如“亚里士多德已死”、“巴塞罗那不在塞纳河上”）构成的语句。这些语句在逻辑中要么为真（1），要么为假（0）。经典逻辑不接纳模糊的真值，如洛芙的高度可能被赋予0.75，但在命题逻辑中，这样的情况不在考虑范围内。

命题的内容被抽象，仅用大写字母表示，而不再涉及其实际含义。逻辑的核心元素包括“非”（not）、“与”（and）、“或”（or）、“蕴含”（implies）和“当且仅当”（if and only if）。这些符号在逻辑中具有固定且不变的意义，但与自然语言中的词义可能有所区别。

命题逻辑的语法基于两个基本规则（R1和R2），通过这些规则，原子公式可以组合成更复杂的公式。我们使用元语言符号[公式] 和 [公式] 来构建其他符号，并通过约定简化表达。例如，(C1)允许我们省略外层括号，但需注意这可能导致理解上的歧义。

接下来，逻辑语义定义了如何解析这些公式。优先级规则和真值表帮助我们理解复杂公式的意义。例如，[公式] 表示 [公式] 和 [公式] 之间的或关系。通过真值表，我们可以推导出所有可能的公式真值。

有效性、可满足性和矛盾是逻辑的重要概念。一个公式如果在所有可能的指派下都为真，则称为有效或重言式；反之，如果至少存在一个指派下为假，则称其为不可满足或矛盾。等价关系则指两个公式在所有指派下都有相同的行为。

结论和模的概念在逻辑推理中至关重要，它们描述了从一个公式推导出另一个公式的关系。通过计算真值表，我们可以判断两个公式是否等价，以及一个公式是否是另一组公式结论。

尽管这些规则有助于简化计算，但在处理无限集合时，确定结论可能变得困难。逻辑的基本原理提供了一套工具，用于理解和处理命题间的逻辑关系，而这种理解在计算机科学和哲学等领域中尤其重要。