已知弧形的长、高和弓形的长、弦，求弓形的弧长？

Answer 1

郭敦顒回答：
已知弓形的高和长（弦长）求弓形的圆弧半径角度和弧长较易，而已知弓形的高和弧长求弓形的圆弧半径角度和弓长（弦长）则较难，
1，若已知弓形的高h和长（弦长）AB求弓形的圆弧半径R角度θ和弧长l
按勾股定理有下式，
（R－h）²+（AB/2）²=R²，
经变换得，R=AB²/8h+h/2
sin（θ/2）=（AB/2）/R，按反三角函数得到θ/2，（用科学计算器计算）和θ，
弧长l=2Rπ×θ/360
例，h=15，AB=150，则R=AB²/8h+h/2=187.5+7.5=195
sin（θ/2）=（AB/2）/R=75/195=5/13，θ/2=22.6200°，θ=45 .24°，
弧长l=2Rπ×θ/360=153.97
2若已知弓形的高h和弧长l0求弓形的圆弧半径R角度θ和弓形的长（弦长）AB
这的确较难，可用尝试—逐步逼近法求解。
你是木工给你一种实用的求解方法——
作CD⊥MN，垂足为K，并使CK=h，在C处订一钉子
用竹片或其它有弹性的物质按弧长l做一弓形，弓形的中点套在C处，两端定在MN上的两点A、B，且使AK=BK，得AB的长，连AC、BC，应有AC=BC，作AC的中垂线和BC的中垂线与CD，三线交于一点O，则
OC=半径R，
按（R－h）²+（AB/2）²=R²，初步检验
按（1）给出的方法，求得弧长l=2Rπ×θ/360与所给弧长l0进行对比若无误差，则为所求结果；若为正误差=l－l0＞0，则适当减小R与AB的值；若为负误差=l－l0＜0，则适当加大R与AB的值，重新计算做到基本上无误差，即得所求结果。
在给出的实例中，高h=15，弧长l0=200，
设AB=195，则R=AB²/8h+h/2=324.375，
sin（θ/2）=（AB/2）/R=52/173，θ/2=17 .4923°，θ=34 .985°，
弧长l=2Rπ×θ/360=198.06，误差=198.06－200=－1.94；
设AB=196.0，则R=AB²/8h+h/2=327.6333，
sin（θ/2）=（AB/2）/R=0 .299115，θ/2=17 .40446°，θ=34 .8089°
弧长l=2Rπ×θ/360=199.05，误差=199.05－200=－0.95；
设AB=197，则R=AB²/8h+h/2=330.9083，
sin（θ/2）=（AB/2）/R=0.2976655，θ/2=17 .3174°，θ=34 .635°
弧长l=2Rπ×θ/360=200.0，误差=200.0－200=0.0
∴半径R=330.9083，弓形的长（弦长）AB=197，弓形的中心角θ=34 .635°。