数量关系轻松学 17.高频考点-排列组合-环形排列和可重复排列

Answer 1

深入解析：排列组合的最后两道难题——环形排列与可重复排列

在探索排列组合的奥秘中，我们已经领略了定序问题与错位排序的独特魅力；接下来，让我们聚焦于排列组合的两大特殊场景：环形排列与可重复排列，它们将为我们揭示更为丰富的数学逻辑。

1. 环形排列：首尾相连的艺术

想象一下，n个元素如同绕着大圆桌翩翩起舞，首尾相连形成一个循环。初始位置只有一个选择，对第一个人来说，坐哪里都是一样的，只有一个坐法，象征着环形排列的第一步——无从选择的单一。

但当第二个人落座时，情况变得微妙。无论他选择哪个位置，都会产生独一无二的间隔，这就赋予了他n-1种坐法。这个规律一直延续下去，直到第n个人，他只剩下最后一个位置，仅此一席。环形排列的魅力在于，每一环都蕴含着乘法原理的智慧，即(n-1)×(n-2)×…×1，最终简化为(n-1)!。

2. 可重复排列：元素的自由穿梭

不同于传统排列组合的不重复选择，可重复排列允许元素被重复取用，这为问题解答带来了新的维度。以甲乙的猜数字游戏为例，每次选择都有10种可能，即使数字被重复使用，也需精确计算。每个x的取值范围为0-9，共10种，而重复次数为3，因此总数为10×10×10=1000种。

总结来说，如果n个位置，每个位置有m种可能，且元素可重复选择n次，那么不同的填入方式就是m的n次方。

实战演练

例题1：6个小朋友围成一圈，小华和小明必须相邻，有多少种安排方法？答案在：A.360 B.240 C.120 D.48

这道题涉及环形排列中的相邻问题，通过捆绑法处理小华和小明，将问题简化为5个“元素”环形排列，考虑两人内部的2种顺序，计算得出答案。

例题2：6个年级学生参观6个科技馆，只有2个年级选择A馆，其他任意选择，方案有多少？答案在：A.1800 B.18750 C.3800 D.9375

此题涉及可重复选择问题，需分步计算：先选2个年级（6选2），再从5个科技馆中任选（5选4），两者相乘得出结果。

例题3：5封信投入4个邮箱，每个邮箱可多次接收，有多少种投法？答案在：A.5 B.1024 C.40 D.625

此题中，信件可以被重复投递，即5个元素在4个位置上的全排列，计算结果为4的5次方。

通过这些例子，排列组合的环形排列与可重复排列问题为我们展示了数学中的精妙结构。继续深化理解，迎接下一个挑战——概率问题，让我们在探索的道路上不断前行。

总结：我们已经系统梳理了排列组合的方方面面，包括基础概念、定序与错位、相邻与不相邻，以及今天的环形排列和可重复排列。关键在于理解每个问题的内在逻辑，熟练运用公式，不断通过练习巩固知识。下篇，我们将开启概率问题的新篇章，期待你的持续关注与深入学习。