u=e的xy次方×cosxy,求二阶偏导

Answer 1

求解问题

【求解答案】

【求解思路】

函数的二阶偏导数是指∂²u/∂x²，∂²u/∂y²，∂²u/∂x∂y

1、求∂u/∂x的一阶偏导数时，可以把变量y看成是常数，然后正常进行求导

2、求∂u/∂y的一阶偏导数时，可以把变量x看成是常数，然后正常进行求导

3、求∂²u/∂x²的二阶偏导数时，仍然把变量y看成是常数，然后正常进行求导

4、求∂²u/∂y²的二阶偏导数时，仍然把变量x看成是常数，然后正常进行求导

5、求∂²u/∂x∂y的二阶偏导数时，是求∂u/∂x对变量y的导数，此时可以把变量x看成是常数，然后正常进行求导

【求解过程】

【本题知识点】

1、偏导数。在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

几何意义。偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

2、高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意：

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

3、本题的基本导数公式

Answer 2

u = e^(xy)cos(xy)
∂u/∂x = ye^(xy)cos(xy) - ye^(xy)sin(xy) = ye^(xy)[cos(xy)-sin(xy)]
同理 ∂u/∂x = xe^(xy)[cos(xy)-sin(xy)]
∂²u/∂x² = y^2e^(xy)[cos(xy)-sin(xy)] + y^2e^(xy)[-sin(xy)-cos(xy)]
= -2y^2e^(xy)sin(xy)
∂²u/∂x∂y = e^(xy)[cos(xy)-sin(xy)] + xye^(xy)[cos(xy)-sin(xy)]
+ xye^(xy)[-sin(xy)-cos(xy)]
= e^(xy)[cos(xy)-sin(xy)] - 2xye^(xy)sin(xy)
同理 ∂²u/∂y² = -2x^2e^(xy)sin(xy)