1.2 二维三维空间向量组的线性组合

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在物理问题中，特别是平衡系统的研究中，理解向量组的线性组合至关重要。线性组合是基础概念，它在二维和三维空间中表现尤为直观。让我们通过实例来探索这些概念。

首先，二维空间中，如向量 $\mathbf{v}=(1,0)$ 和 $\mathbf{w}=(0,1)$，它们的线性组合为 $\alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} = (\alpha,\beta)$。这可以看作是分别将$\mathbf{v}$和$\mathbf{w}$按比例放大并相加。线性组合的实质是通过系数$(\alpha,\beta)$来拉伸和合成这些向量。向量 $(1,0)$ 和 $(0,1)$的组合能够构成整个二维平面，因为每个二维向量 $(x,y)$ 都对应唯一的 $(\alpha,\beta)$值，如 $(\alpha=x,\beta=y)$。

对于二维向量 $\mathbf{v}=(1,1)$ 和 $\mathbf{w}=(2,1)$，它们的线性组合同样构成二维平面，而 $\mathbf{v}=(1,2)$ 和 $\mathbf{w}=(-2,-4)$ 的组合则只表示一条直线，因为它们共线。当向量成比例时，线性组合只能表示共线直线的延长线，不能表示直线外的点。

三维空间中，例如向量 $\mathbf{v}=(1,0,0)$ 和 $\mathbf{w}=(0,1,0)$，它们的组合表示二维平面 $(x,y,0)$。增加一个非共面的向量 $\mathbf{u}$，如 $(0,0,1)$，则三个向量的组合能表示整个三维空间，而当所有向量共面时，仅表示它们确定的平面内的点。

总结来说，向量组的线性组合在低维空间中，通过系数的变换，可以直观地描述平面或空间内的点。对于三维向量，不共面的向量组合可以表示整个空间，而共面的则限于特定平面。随着向量数量的增加，组合的性质会根据向量的线性关系发生相应的变化。