调和函数的充要条件

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调和函数是定义在R^n某个区域上并且在该区域内满足满足拉普拉斯方程（△u=▽2u=0）的函数。
关于调和函数有一个均值定理，就是说调和函数在某点的任意有定义的球领域上的面积分和球领域内的体积分的平均值均为该点的值。而且如果一个函数拥有这样的均值性质，那么可以证明它是调和函数，也就是说上面这个定理左右两边是等价的。从均值性质可以推出非常数调和函数在区域内取不到最值，如果非常数调和函数在区域的边界上也有定义的话，那么该调和函数必然只能在区域的边界上取最值。而且，从定义上来说调和函数仅仅是C2的，但可以由C2推到C∞。调和函数的各阶导数还可以由不等式控制，这直接推出了它的另一个性质：定义在R^n上的有界的调和函数必然是常数。由不等式还可以推出调和函数必然解析，所以以后可以直接默认它是解析的。
以上定理的证明在evans的pde里面有。
还有一个比较有趣的事情，定义在R^2上的有下界或有上界（不一定有界）的调和函数必然是常数（上面说的是有界必然为常数，这个条件明显弱一点）。这个性质出现在谭小江老师的复变函数简明教程的调和函数那章的习题中。证明是找一个共轭调和函数形成复解析函数，然后运用weierstrass定理（非常数整函数必然在复平面中稠密，但它的实部有上界或下界显然不能使它稠密）证明。当然，此定理在R^n上也成立，用harnack不等式证明即可。
最后，自由电场势能和引力势能等都是调和函数，所以自由电场和引力场中也会有调和函数的相应性质。