等差数列错位相减的方法如何运用?

Question

高3数学经常遇到这类题, 谁帮帮忙解释以下这个 错位相减法,谢谢有例题最好!

Answer 1

我们都知道，高一课本第一册（上）在推导等比数列前 项和公式 的过程中运用了著名的“错位相减法”，随即在书中的第137页复习参考题三B组中出现了运用该方法来解决的求和问题：6、 …… 。
这类数列的主要特征是：已知数列 满足 其中 等差， 等比且公比不等于1，老师们形象地称这类数列 为“等差乘等比型”数列。求这类数列前 项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。
例题：求 2+2~2+2~3+2~4+2~5+....+2~100

这就是错位相减法的一个例子。

设x=2+2~2+2~3+2~4+2~5+....+2~100

则2x=2~2+2~3+.....+2~100+2~101

两式相减：x=2~101-2

Answer 2

错位相减法适合等差与等比乘积形式的数列求和
举例说明
已知an=2n+1;bn=3^n,cn=an*bn=（2n+1)3^n,求cn的前n项和。

Answer 3

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
　　形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
　　例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
　　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
　　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n
　　 　 　 　 　　7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d
　　8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1·q^(n-1)
　　二、基本公式：
　　9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1
　　10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)
　　当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
　　11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
　　当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。
　　12、等比数列的通项公式： an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)
　　(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
　　13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
　　当q≠1时，Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
　　三、有关等差、等比数列的结论
　　14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
　　15、等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq
　　16、等比数列中，若m+n=p+q，则 am·an=ap·aq
　　17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
　　18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。
　　19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
　　{an·bn}、{an/bn} 、{1/(an·bn)} 仍为等比数列。
　　20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
　　21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
　　22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；
　　四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
　　23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
　　四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3
　　四、数列求和的常用方法：
　　公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
　　24、分组法求数列的和：如an=2n+3n
　　25、错位相减法求和：如an=n·2^n
　　26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
　　27、倒序相加法求和：如an= n
　　28、求数列的最大、最小项的方法：
　　① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
　　② (an>0) 如an=
　　③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
　　29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
　　(1)当 a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.
　　(2)当 a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值.