几道高等数学题

Question

http://hi.baidu.com/nuoyaxuedi/album/%CC%E2

Answer 1

第一个图片，第一个我看不清楚，
第二个利用等价无穷小
tanx~x
也就是tanx~3x
结果为。
第二个图片，利用两个重要极限
x->无穷 （1+1/x）^x->e
原题:x->0 也就是1/x->无穷
(1+2x)^(1/x)
=[（1+1/(1/2x))^1/2x]^2
前面刚好符合公式
结果为e^2
第三个图片
（1-1/x）^kx
=(1+1/(-x))^[(-x)*(-k)]
=e^(-k)
第四个图片看不清楚
第五个图片
利用等价无穷小的变换
e^x-1~x sinx~x
则分子变化为
(x+1)-(-x+1)
分母变化成x
则为2
也可以用洛必达法则，上下分别求导为
（e^x+e^(-x)）/cosx
此时代入值0即可算得2
第六张图片
求积分，
先用分部积分法
（xe^-x）dx
=-xe^(-x)-[-e^(-x)dx]
=-xe^(-x)-e^(-x)
再代入1 0
得到结果为[-e^(-1)-e^(-1)]-[0-1]=1
最后一张图片
可以先求不定积分
x/(sinx)^2dx
=x*(cscx)^2dx
=-xdcotx
=-xcotx-(-cotxdx)
=-xcotx+cosx/sinxdx
=-xcotx-1/sinxdsinx
=-xcotx-ln[sinx]
代入结果为：
[-pi/3*cot(pi/3)-ln[sinpi/3]]-[-pi/4cotpi/4-ln[sinpi/4]]
=[-pi*根号3/3-ln（根号3/2）]-[-pi/4*1-ln（根号2/2）]
=（1-根号3/3）pi-(1/2ln3-ln2)+(1/2ln2-ln2)
=（1-根号3/3）pi-1/2（ln3-ln2）

Answer 2

I don't konw

Answer 3

第一个为w

Answer 4

第一个w 两个重要极限：
1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0
2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→0 （e≈2.7182818...，无理数）

第二个利用等价无穷小
tanx~x
也就是tanx~3x
结果为。
第二个图片，利用两个重要极限
x->无穷 （1+1/x）^x->e
原题:x->0 也就是1/x->无穷
(1+2x)^(1/x)
=[（1+1/(1/2x))^1/2x]^2
前面刚好符合公式
结果为e^2
第三个图片
（1-1/x）^kx
=(1+1/(-x))^[(-x)*(-k)]
=e^(-k)
第四个图片看不清楚
第五个图片
利用等价无穷小的变换
e^x-1~x sinx~x
则分子变化为
(x+1)-(-x+1)
分母变化成x
则为2
也可以用洛必达法则，上下分别求导为
（e^x+e^(-x)）/cosx
此时代入值0即可算得2
第六张图片
求积分，
先用分部积分法
（xe^-x）dx
=-xe^(-x)-[-e^(-x)dx]
=-xe^(-x)-e^(-x)
再代入1 0
得到结果为[-e^(-1)-e^(-1)]-[0-1]=1
最后一张图片
可以先求不定积分
x/(sinx)^2dx
=x*(cscx)^2dx
=-xdcotx
=-xcotx-(-cotxdx)
=-xcotx+cosx/sinxdx
=-xcotx-1/sinxdsinx
=-xcotx-ln[sinx]
代入结果为：
[-pi/3*cot(pi/3)-ln[sinpi/3]]-[-pi/4cotpi/4-ln[sinpi/4]]
=[-pi*根号3/3-ln（根号3/2）]-[-pi/4*1-ln（根号2/2）]
=（1-根号3/3）pi-(1/2ln3-ln2)+(1/2ln2-ln2)
=（1-根号3/3）pi-1/2（ln3-ln2）

Answer 5

1.jpg
lim sin wx/x = lim wx / x = w
x→0

lim tan 3x/x = lim 3x / x = 3
x→0
(注：这是利用等价无穷小代换，也可利用第一个重要极限)

2.jpg
lim (1+2x)^(1/x）
x→0
=lim (1+2x)^[(1/2x)·2]
x→0
=[lim (1+2x)^(1/2x)]^2
x→0
=e^2
(注：利用第二个重要极限)

3.jpg
lim (1 - 1/x)^(kx）
x→∞
=lim (1 - 1/x)^[(-x)·(-k)]
x→∞
=[lim (1 - 1/x)^(-x)]^(-k)
x→∞
=e^(-k)
(注：利用第二个重要极限)

4.jpg
解：曲线 y = cosx 在点(π/3 , 1/2)的切线斜率为
k = y′|x=π/3 = (-sinx)|x=π/3 = -√3/2
所以所求切线方程为
y - 1/2 = -√3/2 (x - π/3)
法线方程为 y - 1/2 = 2√3/3 (x - π/3)
(注：根据导数的几何意义求解)

5.jpg
lim [e^x - e^(-x)]/sinx
x→0
=lim [e^x + e^(-x)]/cosx
x→0
= 2
(注：利用洛必达法则)

6.jpg
∫(0，1) [x·e^(-x)] dx
= - ∫(0，1) x d[e^(-x)]
= - x·e^(-x)|(0，1) + ∫(0，1) [e^(-x)] dx
= -1/e - e^(-x)|(0，1)
= -2/e + 1
(注：利用分部积分法；(0，1)表示以0为下限，1为上限的积分区间)

7.jpg
∫(π/4，π/3) [x/(sinx)^2] dx
= - ∫(π/4，π/3) x d(cotx)
= - x·cotx|(π/4，π/3) + ∫(π/4，π/3)(cotx) dx
= -3√3π/9 + π/4 + ln(sinx)|(π/4，π/3)
= -3√3π/9 + π/4 + ln(√6/2)
(注：利用分部积分法；(π/4，π/3)表示以π/4为下限，π/3为上限的积分区间)