数学建模题。。速求高人指点答案。。

Question

飞跃北极 今年6月，扬子晚报发布消息：“中美航线下月飞跃北极，北京至底特律可节省4小时",摘要如下： 7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航飞机飞跃北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲的飞行时间，旅 客可直接从休斯顿，丹佛儿及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞跃北极， 底特律至北京的飞行时间可节约4小时，由于不需要中途降落加油，实际节省的时间不止次数。 假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经一下 10处： A1（北纬31度，东经122度）； A2（北纬36度，东经140度）； A3（北纬53度，西经165度）； A4（北纬62度，西经150度）； A5（北纬59度，西经140度）； A6（北纬66度，西经135度）； A7（北纬50度，西经130度）； A8（北纬47度，西经125度）； A9（北纬46度，西经122度）； A10（北纬42度，西经87度）； 请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论： （1）设地球是半径6371千米的球体； （2）设地球是一旋转椭球题，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。

Answer 1

一、 问题的重述 7月1日起，加拿大和俄罗斯允许民航班机飞越北极，此决定可大幅度缩短了北美与亚洲间的飞行时间。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时可节省4小时。 若飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航行飞经以下10处： A1(北纬31度，东经122度)； A2(北纬36度，东经140度)； A3(北纬53度，西经165度)； A4(北纬62度，西经150度)； A5(北纬59度，西经140度)； A6(北纬55度，西经135度)； A7(北纬50度，西经130度)； A8(北纬47度，西经125度)； A9(北纬47度，西经122度)； A10(北纬42度，西经87度). 对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”分下面两个问题，从数学上作合理解释。 问题（1）设地球是半径为6371千米的球体； 问题（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千 米。 二、 问题的摘要 本文针对地球的两种不同形状，通过两地间的航程用公式t=s/v，来对航行时间进行计算，得出航线更改后可节省的时间。 对于问题(1)，由球体上两点间球面距离以过这两点的大圆的劣弧最短为依据，分别算出飞机航程更改前后的时间，得到可节省时间4小时3分钟的结论。 对于问题(2)，本文由简单到复杂建立了三个数学模型： 1、转化模型 针对椭球体面上两点间距离最短值难计算的特点，在椭球体偏心率不大的条件下，依表面积相等原则将椭球体转化为易计算的球体来进行计算，结论为可节省时间4小时3分钟。 2、实验模型 依据数学方法作出大地线，用物理力学原理说明大地线为椭球面上任两点间的最短球面距离，用做实验的方法粗略地测出各点间的大地线长，比较航线改变前后的大地线长，得出可节省时间大概为4小时2分钟。 3、BESSEL方法 针对模型2中大地线的粗略计算提出的一种精细算法，用Bessel辅助球与椭球的转化，得出大地线的准确的长度，得出可节省时间为3小时58分，误差为0.1%。 三、问题的假设 ①．飞行时尽可能飞最短距离 ②．不考虑地形对飞机的影响(如山脉等使飞机提升高度或绕道飞行) ③．不考虑地球自公转及万有引力对飞行的影响 ④．不考虑飞机的加油时间 ⑤．飞机中途不停留上客 四、符号的说明 A0： 北京 A11：底特律 s(i,j): 飞机从i地飞到j地的弧长距离 v: 飞机的飞行速度(980km/h) t(i,j): 飞机从i地飞到j地的时间 R: 地球的近似半径(6371km) R 1 : 地球作为球体时飞机飞行的轨道半径 A: 地球作为椭球时的长轴(即赤道半径6378km) B: 地球作为椭球时的短轴(即子午线6371km) a：地球作为椭球体时飞机飞行的轨道长轴 b: 地球作为椭球体时飞机飞行的轨道短轴 h: 飞机飞行高度(10km) li : i点的经度 ji: i点的纬度 T 0 :旧航线从A0到A11所需总时间 T 1 ：新航线从A0到A11所需的总时间 △t：新旧航线下从A0到A11可节省的时间 S 0 ：旧航线下从A0到A11的总航程 S 1 ：新航线下从A0到A11的总航程 e: 椭圆的偏心率 │AB│：从点A到B的直线距离 AB：在球面上从A点沿大圆到B点的劣弧长 五、问题的分析 1、问题要求节省时间达到4小时，且飞机飞行的速度为定值，由t=s/v知,时间可转化为路程问题，故主要讨论路程的值，从而确定时间。 2、因为飞机绕地球飞行的高度h为定值10km，故在问题(1)时可看作一质点在半径R1=R+h=6381km的球上运动，在问题(2)中可看作一质点在长轴a=A+h=6388km,短轴为b=B+h=6367km的椭球体上运动。 3、由于飞机飞行时间应尽可能短，所以用航线更改前后的最短航行进行比较，求出时间之差。 六、模型的建立与求解 (一)、 问题 (1) 的求解 因为题中经度、纬度，所以先将其转化为直角坐标系。 建立直角坐标系： 1． 0为地球球心 2． z轴：球心指向北极点 3. x轴：赤道面与格林尼治子午面的交线 4、 y轴：与xoy面垂直 z (地球北极点) M (各方向如图(1)所示) (格林尼治子午面) R o 易得,地理坐标与直角坐标间的换算公式(1) : j y … (1) l x 图(1) 根据题中的12个点的经、纬度(据查北京〈北纬40，东径116.33〉，底特律〈北纬43，西径82.87〉) [1] ，由公式(1)得出十二个地区的三维坐标：(见表(1)) A0 A1 A2 A3 A4 A5 x -2164.69 -2893.9 -3948.38 -3703.52 -2590.28 -2513.63 y 4374.142 4631.202 3313.086 992.355 -1495.5 -2109.18 z 4095.2 3281.308 3744.78 5088.107 5625.259 5461.013 A6 A7 A8 A9 A10 A11 x -2583.95 -2632.34 -2492.2 -2302.51 247.7885 578.3363 y -2583.95 -3137.11 -3559.23 -3684.78 -4728.09 -4623.42 z 5218.818 4880.469 4659.454 4659.454 4263.031 4345.012 表(1) 因为在球体上任意两点A、B间球面距离的最小值为通过这两点和球心的大圆劣弧长AB，故飞机从A点沿圆球面飞到B点达到最短时间的路程为AB，即AB为飞行轨迹。 求弧长的方法如下： 由两点间距离公式，知： 再由余弦定理： 得公式(2) ： …… (2) 把表（1）中数据分别代入公式(2)，即得飞机飞行的最短航程见表（2）： s(0,1) s(1,2) s(2,3) s(3,4) s(4,5) S(5,6) 1125.829 1758.789 4624.408 1339.083 641.1639 538.5959 s(6,7) s(7,8) s(8,9) s(9,10) s(10,11) s(0,11) 651.5371 497.5686 227.8474 2810.859 356.8882 10603.4628 表（2） 航线更改前总的最小路程为各段弧长之和,即 飞机航行所需总时间为： T 0 =S 0 /v=14.86997(小时) 更改后从北京直飞底特律的航程S 1 =s(0,11)=10603.4628km 需时间T 1 =S 1 /v=10.81986(小时) Δt=T 0 -T 1 =4.05011(小时) 即节省4小时3分钟。 ( 二 ) 、问题 (2) 的求解 1.转化模型 求旋转椭球上两点间球面距离的最小值与求圆球面上两点间球面距离的最小值相比，难度大了很多。在偏心率e很小的情况下，考虑到飞机均是在球外表面飞行，那么外表面的表面积的大小对于飞行来说有很大的影响。若据面积相等原则，使椭球转化为一个表面积与之相等的圆球来处理，则会简化模型，使运算简单。 转化如下： 由旋转椭球表面积公式 圆球表面积公式 ( 为转化后球的半径) 由 得, 圆球半径 进而可得出 代入a=6388，b=6367及e= 的值可得出 =6381.116081km 利用解问题(1)的方法，同理可得：原航线的时间为14.87024小时，新航线的时间为10.82006小时，可节省4小时3分钟，与问题(1)的结果十分近似。 2．实验模型 在偏心率e较小的情况下，可近似地采取椭球转化为圆球的方法进行计算。若e稍大时，则将会有很大的偏差。所以需要考虑一种较为通用的方法，下面先引出大地线的定义： 大地线 ：为空间曲面上的一条空间曲线，曲线上每点的密切面都包含该点的曲面法线。 密切面 ：包含曲面上某一点处的切线及无限接近于该点的另一点之平面。 大地线的物理模型： 在椭圆体面上两点之间拉紧一根弹性细线，则该细线就是大地线。 本模型物理原理 ： 因为当细线平衡时细线上每点的弹性力的合力必然位于密切面内，而曲面的反作用力的方向与法线一致，此时这两个力互相抵消，即密切面将包含曲面的法线。据此物理模型可得出结论：大地线是椭球体上两点间距离最短的曲线。 根据此物理原理，做如下实验： （1 ）器材 ：细线，精度尺，地球仪(1cm：203.4km) （2 ）步骤 ：先在地球仪找出这12个的位置， 然后用细线分别在两点间拉紧，再用精度尺量出该细线的长度， 它可近似认为是椭球面上两点间的大地线的长度，测得的数据见表（3）： s(0,11) s(0,1) s(1,2) s(2,3) s(3,4) S(4,5) 51.7 4.9 9.4 23.3 5.2 1.9 s(5,6) s(6,7) s(7,8) s(8,9) s(9,10) s(10,11) 4.2 1.9 2.2 2.6 13.8 1.7 表（3） 单位：cm 由此数据可知：S 0 =14462.12km, S 1 =10516.057km 则T 0 =14.757266小时，T 1 =10.73067小时 △t= T 0 -T 1 =4.02596(小时)，即可节省时间约为4小时2分钟。 因为本实验测量中肯定会存在较大的误差，所以只能粗略地算出大约时间。(对于10km的飞行高度相对于较大的长短轴，可忽略不计) 3、BESSEL方法 实验模型，直观简单，但误差较大，对于精度要求较高的问题来说，很难完成。大地测量学中常用长距离大地测量主题的Bessel方法 [2] 来完成此种较高精度计算。利用任意半径的Bessel辅助球作为解算的过渡面(这里采用单位半径的球)。先确定椭圆体面上诸元素与Bessel辅助球上诸元素的对应关系，以便将椭球面上的已知元素换算至Bessel辅助球面上，然后在Bessel辅助球面上求解大地测量主题，然后再返回到椭球上。 Bessel方法的具体推导过程可参见《大地测量学》 [3] 的P 46 —P 55 ，此仅运用其数学算法。 (以下各式中未定义的符号均为大地测量中的专有符号，具体可参见《大地测量学》 [3] ) 算法如下： 若知A(j 1 ，l 1 ) , B(j 2 ， l 2 ) 可作如下转化： △l=l 2 -l 1 (A m 为AB最高点的方向角) (A 1 为A点处的方向角) 由Bessel法可知: 公式（3） ……(3) (s表示Bessel辅助球球面上两点的弧长，本文采用单位圆球) 由已知经、纬度用以上算法可得各k值，及在Bessel辅助球上的s(s的求法如问题(1)),用Matlab软件对弧长s积分可得出s，所得数据见表(4)： A0-A1 A1-A2 A2-A3 A3-A4 A4-A5 A5-A6 k 0.005775 0.002531 0.004255 0.005857 0.005505 0.006061 0.176435 0.275629 0.724715 0.209855 0.10048 0.084406 s 1123.4 1755 4615.8 1366.2 639.7621 537.4169 A6-A7 A7-A8 A8-A9 A9-A10 A10-A11 A0-A11 k 0.006021 0.005068 0.003566 0.003567 0.005191 0.006054 0.102106 0.072977 0.035707 0.440504 0.05593 1.666309 s 650.1157 464.6466 227.3466 2805 356.1073 10626 表(4) 航线更改前Ｓ 0 =14510.8km, 更改后S 1 =10626km 更改前T 0 =14.80693小时， 更改后T 1 =10.84286小时 =3.964077小时，约为3小时58分，且与上几模型中的结果近似相等。 因为Bessel方法在计算大地线长时的误差为0.1%，故算得的时间误差也为0.1%. 七、模型的评价与改进 对于问题(1)本文从问题的要求出发，建立了较一般的数学模型，优点为方法简单，运算简便，缺点为本模型只针对圆球体，具有一定的局限性。转化模型在e较小的时，将复杂问题转化为简单问题，，可得出较满意的结果。其转化思想可用于多种实际近似问题中，得出近似程度较好的结果。实验模型，容易理解，操作简单，运算简便，不失为一种较好的方法。而BESSEL算法则具有一定的广泛性，对于任意椭球体上任两点间的大地线长，均可得出一较准确、精细的结果。在设计筑路，修水渠路径等实际问题，以及在计算航天卫星等的轨道时都具有很大的帮助。且在具体的运用中，可针对不同的要求选择不同的模型。 由于在模型中没有考虑到地球的自公转，天气，地形等对飞行的影响，故可针对在不同的情况下，进行综合考虑。同时，需考虑到飞机飞行的安全性问题而更改一些航线的问题，同时，若从经济的角度上分析飞机中途停留上客或加油 ，及乘客转机等问题，对本模型进行改进，从而使本模型更具有实际意义。