讨论f（x,y）=｛xy²/x²+y^4（x²+y²≠0），0（x³+y³=0）｝在（0，0）的

Question

讨论f（x,y）=｛xy²/x²+y^4（x²+y²≠0），0（x³+y³=0）｝在（0，0）的连续性和可导性

Answer 1

f（x,y）=｛xy²/(x²+y^4)（x²+y²≠0），
.................{0（x^2+y^2=0）(改题了)
设x=rcosu,y=rsinu,则(x,y)→(0,0),变为r→0，
f(x,y)=rcosu(sinu)^2/[(cosu)^2+r^2(sinu)^4]，
x=y^2时f(x,y)→1/2，
u=(k+1/2)π，k∈Z时f(x,y)→0，
∴f(x,y)的极限不存在，
∴f(x,y)在(0,0)处不连续。
在(0,0)处的偏导数
∂f/∂x=lim<x→0>y^2/(x^2+y^4)=1/y^2,
∂f/∂y=lim<y→0>xy/(x^2+y^2)=0.