函数f(x,y)=xysin1/(x^2+y^2)^1/2，(x,y)≠(0,0); 0,(x,y

Question

函数f(x,y)=xysin1/(x^2+y^2)^1/2，(x,y)≠(0,0);
0,(x,y)=(0,0),偏导数在（0,0）点不连续，但是可微，那么（0,0）点存在切平面吗？？
偏导数不存在，某个方向上的切线都不存在，怎么会存在切平面呢？

Answer 1

f(x,y)={(x^2+y^2)sin[1(/x^2+y^2)]，(x，y)≠(0，0) ;
...........{0，(x，y)=(0，0).
∂f/∂x=2xsin[1/(x^2+y^2)]+(x^2+y^2)cos[1/(x^2+y^2)]*[-2x/(x^2+y^2)^2]
=2xsin[1/(x^2+y^2)]-2x/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)],(x,y)≠(0,0);
lim<△x→0>(△x）^2sin[1/(△x)^2]/△x=0.
同理，∂f/∂y=2ysin[1/(x^2+y^2)]-2y/(x^2+y^2)*cos[1/(x^2+y^2)]，(x,y)≠(0,0)
0,(x,y)=(0,0).
∴f'x(x，0)=2xsin(1/x^2)-2/x*cos(1/x^2),x→0时第一项的极限为0，第二项的极限不存在，
∴f'x在(0,0)处不连续，同理，f'y在(0,0)处不连续。
设u=f(x,y),p=√[(△x)^2+(△y)^2],r=psin(1/p^2),
在原点处，△u=[(△x)^2+(△y)^2]sin{1/[(△x)^2+(△y)^2]}-0
=p^2sin(1/p^2)=0*△x+0*△y+pr,
当p→0时r→0，根据微分的定义，f(x,y)在原点的微分存在。

Answer 2

函数
f(x,y) = xy/√(x²+y²)，(x,y)≠(0,0)，
= 0， (x,y)=(0,0)，
求偏导数
f'x(x,y) = y³/[√(x²+y²)]³，(x,y)≠(0,0)，
= 0，(x,y)=(0,0)，
而因
lim(x→0,y=kx)f'x(x,y)
= lim(x→0,y=kx)y³/[√(x²+y²)]³
= lim(x→0)(kx)³/{√[x²+(kx)²]}³
= k³/[√(1+k²)]³
与 k 有关，知极限
lim(x→0,y→0)f'x(x,y)
不存在，另一个同理。

Answer 3

可微一定联系的

Answer 4

你的相机不能拍照吗？这种题应写在纸上拍照再上传到网上，你这样谁看得清？

追问

（0，0）点是否存在切平面？